专题15椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程＋＝1(a>b>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形(1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为()A.＋＝1B．＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝1(2)(2019·沈阳质量检测(一))已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝()A．3B．4C．5D．6(3)(2017·高考全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.B．2C．2D．3【答案】(1)A(2)A(3)C【解析】(1)由椭圆的定义知△AF1B的周长为4a＝4，所以a＝.由e＝＝＝，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆C的方程为＋＝1.故选A.(2)如图，设MN的中点为P.因为F1为MA的中点，F2为MB的中点，所以|AN|＝2|PF1|，|BN|＝2|PF2|，又|AN|－|BN|＝12，所以|PF1|－|PF2|＝6＝2a，所以a＝3.故选A.若已知条件涉及圆锥曲线上的点与焦点的连线段长度问题，首先考虑用定义求解，这样会使问题简捷、快速得到解答．【对点训练】1已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为()A.B．C.D.【答案】D.【解析】法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP＝(1，0)，PF＝(0，－3)，所以AP·PF＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.2．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．答案：6解析：法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2，所以N(0，4)，|FN|＝＝6.法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．(1)设A、B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0，1]∪[9，＋∞)B．(0，]∪[9，＋∞)C．(0，1]∪[4，＋∞)D．(0，]∪[4，＋∞)(2)(2019·湖南五市十校联考)已知F1，F2分别是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知△MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是()A.B．2C．1＋D．2＋【答案】(1)A(2)C【解析】(1)依题意得，或，所以或，解得01，所以e＝1＋，故选C.圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注]求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤...
