第十节函数与方程题号123456答案1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：x1234567f(x)239－711－5－12－26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：函数f(x)在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]上至少各有一个零点．故选C.答案：C2．已知函数f(x)＝lgx－sinx，则f(x)在(0，＋∞)上的零点个数为()A．2个B．3个C．4个D．无数个解析：由f(x)＝0得lgx－sinx＝0，即lgx＝sinx，然后在同一坐标系中分别作出函数y＝lgx与y＝sinx的图象(如图所示)，则由图象易知它们的图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数f(x)在(0，＋∞)上有3个零点，故选B.答案：B3.利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间()A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)答案：C4．函数f(x)＝2x＋4x－3的零点所在区间是()A.B.C.D.解析：f＝2－2＜0，f＝2－1＞0，由函数零点定理可知零点在上，故选A.答案：A5．方程＝cosx在内()x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556…y＝x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56…1A．没有根B．有且仅有一个根C．有两个根D．有无穷多个根解析：构造两个函数y＝|x|和y＝cosx，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观察知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．故选C.答案：C6．设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x－2x2，则f(x)在区间[0，2013]内零点的个数为()A．2013个B．2014个C．3020个D．3024个解析：f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，又x∈[0，1]时，f(x)＝x－2x2，要研究函数y＝f(x)在区间[0，2013]零点个数，可将问题转化为y＝f(x)与x轴在区间[0，2013]有几个交点，如图，f(x)在区间[0，2013]内零点分别是：，，，…，.共有2013个零点．故选A.答案：A7．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx的零点分别为x1，x2，则x1，x2的大小关系是____________．解析：由f(x)＝x＋2x＝0知其零点小于0，∴x1＜0.由g(x)＝x＋lnx＝0知其零点大于0，∴x2＞0.∴x1＜x2.答案：x1＜x28．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则实数k的取值范围是____________．解析：∵Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2，3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则必有f(2)·f(3)＜0，即(6－3k)·(12－4k)＜0，解得2＜k＜3，∴实数k的取值范围是(2，3)．答案：(2，3)9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是____________．解析：在坐标系内作出函数f(x)＝的图象，发现当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有3个交点，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．2答案：(0，1)10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．解析：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.①若Δ＝0，即m2－4＝0，当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1不合题意，舍去．∴2x＝1，x＝0符合题意．②若Δ>0，即m>2或m<－2，t2＋mt＋1＝0有一正一负两根，即t1t2<0，这与t1t2>0矛盾．∴这种情况不可能．综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.11．已知a＞0，设命题p：函数f(x)＝x2－2ax＋1－2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；命题q：g(x)＝|x－a|－ax在区间(0，＋∞)上有最小值．若(綈p)∧q是真命题，求实数a的取值范围．解析：函数f(x)＝x2－2ax＋1－2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点，必须即解得－1＜a≤.所以当－1＜a≤时，函数f(x)＝x2－2ax＋1－2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；由题意可得g(x)＝|x－a|－ax＝因为a＞0，所以－(1＋a)＜0，所以函数y1＝－(1＋a)x＋a是单调递减的，要使g(x)在区间(0，＋∞)上有最小值，必须使y2＝(1－a)x－a在[a，＋∞)上单调递增或为常数，即1－a≥0，解得a≤1，所以当0＜a≤1时，函数g(x)使在区间(0，＋∞)上有最小值．若(綈p)∧q是真命题，则p是假命题且q是真命题，所以解得0＜a≤－1或＜a≤1.故实数a的取值范围是(0，－1]∪.34
