8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋)B．48(3＋2)C．24(＋)D．144解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋)．答案：A2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A、C、B1、D1为顶点的正三棱锥的全面积为4，则该正方体的棱长为()A.B．2C．4D．2解析：设正方体棱长为a，侧面的对角线长为a，所以正三棱锥A－CB1D1的棱长为a，其表面积为4××(a)2＝4，可得a2＝2，即a＝.答案：A3．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()A.B.C.D.解析：棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体实际上是两个底面相等的正四棱锥，四棱锥的底面是正方形面积的一半，高为正方体高的一半，故八面体的体积为2×××a×a××a＝，故选C.答案：C4．某几何体的直观图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为()A．20＋4B．24C．24＋4D．28解析：由直观图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为5×2×2＋4××2×＝20＋4.答案：A二、填空题5．若正四棱锥的底面边长为2cm，体积为8cm3，则它的侧面面积为________．解析：∵该正四棱锥底面边长为2cm，体积为8cm3，∴该四棱锥的高为3cm，∴侧面等腰三角形的高为＝(cm)，S侧＝4××2×＝4(cm2)．答案：4cm26.如图所示的三棱锥，则该三棱锥的体积是______．解析：由题图知，底面三角形是腰长为2，底边长为2的等腰三角形，三棱锥的高为1，故该三棱锥的体积V＝××1＝.答案：7.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________．解析：设AC＝a，CC1＝b，则×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则×a2＝6，∴a2＝8，故此三棱柱的体积为a2××b＝×8×4＝8.答案：8三、解答题8．已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC如图所示，求它的表面积．解析：因为四面体S－ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．不妨求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D，如图所示．因为BC＝SB＝a，SD＝＝＝a，所以S△SBC＝BC·SD＝a×a＝a2.故四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.9．正四棱台两底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2，求其体积．解析：正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10cm，AB＝20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．∵S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5cm，OE＝AB＝10cm，∴O1O＝＝12(cm)．∴该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．[尖子生题库]10.如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2.上面是一个三棱锥，且AA1⊥底面A1B1C1，且AE＝A1E＝3，求组合体的表面积和体积．解析：下面是一个直三棱柱，由题意可知S底＝·2·2＝2S侧面＝S长方形BB1C1C＋S梯形CC1A1A＋S梯形BB1A1A＋S△ABC＝2×3＋(3＋6)·2＋(3＋6)·2＋×2×＝15＋9＋∴S表＝S底＋S侧面＝17＋9＋V＝V三棱锥＋V三棱柱＝×2×3＋2×3＝2＋6＝8.
