第36讲数列的概念及其表示法1．数列{an}的前n项和Sn＝n2－7n＋3，则(D)A．S3最小B．S4最小C．S7最小D．S3、S4最小因为Sn＝n2－7n＋3＝(n－)2－(n∈N*)，所以n＝3或n＝4时取到最小值．2．(2018·北京海淀模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为(C)A．1B．3C．5D．6由条件，当n≥2时，an＝2n－1，令n＝2，则S2－S1＝3，又S2＝3，所以a1＝0.a3＝2×3－1＝5.故a1＋a3＝5.3．(2018·河南洛阳模拟)设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(C)A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝设{2n－1an}的前n项和为Tn，因为数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝，所以Tn＝，所以2n－1an＝Tn－Tn－1＝－＝(n≥2)，所以an＝＝(n≥2)，经检验，当n＝1时也成立，所以an＝.4．(2018·哈师大附中模拟)已知{an}是递增数列，对于任意的正整数n，均有an＝n2＋λn，则实数λ的取值范围是(B)A．[－2，＋∞)B．(－3，＋∞)C．RD．∅因为{an}是递增数列，对于任意的正整数n均有an＝n2＋λn，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，所以λ>－(2n＋1)，所以λ>－3.5．数列1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n＋.每一项都可以分成三部分，整数部分、分子、分母，注意到整数部分就等于序号n，分子是序号n的平方，分母是分子加1，所以an＝n＋.6．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，那么a100＝9900.因为an－an－1＝2(n－1)，所以an－a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＝n(n－1)，因为a1＝0，所以an＝n(n－1)．所以a100＝100×99＝9900.7．已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N*)，且Sn的最大值为8，求数列{an}的通项公式．因为Sn＝－(n－k)2＋k2，所以当n＝k时，Sn的最大值为k2.所以k2＝8，所以k∈N*，所以k＝4.所以Sn＝－n2＋4n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋4n－[－(n－1)2＋4(n－1)]＝－(2n－1)＋4＝－n；当n＝1时，a1＝S1＝－＋4＝＝－1.所以an＝－n(n∈N*)．8．(2018·山东济南模拟)已知数列{an}中，a2＝102，an＋1－an＝4n，则数列{}中的最小项是(B)A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项由an＋1－an＝4n，得a2－a1＝4，又a2＝102，所以a1＝98.当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝98＋4×1＋4×2＋…＋4(n－1)＝98＋2n(n－1)，又n＝1时适合上式，故an＝98＋2n(n－1)，n∈N*.故＝＋2n－2≥2－2＝26，当且仅当＝2n，即n＝7时，等号成立．9．(2018·石家庄二模)已知数列{an}的前n项和为Sn＝(－)n，如果存在正整数n，使得(m－an)(m－an＋1)<0成立，则实数m的取值范围是__(－，)__．因为Sn＝(－)n，所以a1＝S1＝－，a2＝S2－S1＝＋＝，a2n＝S2n－S2n－1＝(－)2n－(－)2n－1＝()2n＋2()2n＝3×()2n>0，a2n＋1＝S2n＋1－S2n＝(－)2n＋1－(－)2n＝－×()2n－()2n＝－×()2n<0，所以数列{an}的奇数项为递增的等比数列，且各项为负；偶数项为递减的等比数列，且各项为正．所以a1
0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明Sn＝a1＋a2＋…＋an<；(3)数列{an}是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由．(1)由－an＝2，得a＋2an－1＝0，由一元二次方程的求根公式得：an＝＝－±，因为an>0，所以an＝－.(2)证明：因为an＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.因为－1－＝－1<0，所以－1<.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an<.(3)(方法1)因为an＝－>0，所以＝＝<1，所以an＋10时，<，所以x>0时，f′(x)<0，即函数f(x)＝－在(0，＋∞)上为减函数，由此得到an＝－为递减数列，所以数列{an}有最大项，最大项为第一项a1＝－1.
