配餐作业(五十七)抛物线(时间：40分钟)一、选择题1．设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A．x＝－1B．x＝－2C．x＝－3D．x＝－4解析因为抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，所以p＝8，所以抛物线的准线方程为x＝－4，故选D。答案D2．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为()A.B．1C.D．2解析设P(xP，yP)，由题可得抛线物焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，∴xP＝1，代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1。故选B。答案B3．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析由题意知抛物线的准线为x＝－。因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A。答案A4．(2016·广州模拟)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝()A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，所以|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋1＋x2＋1＋…＋xn＋1＝(x1＋x2＋…＋xn)＋n＝n＋10。故选A。答案A5．(2017·郑州模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A．2±B．2＋C.±1D.－1解析F，设P，Q(y1≠y2)。由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y＝y，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝＋＝2，解得p＝2±。故选A。答案A6．(2016·大连二模)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M(－1,2)。若MA·MB＝0，则直线l的斜率k＝()A．－2B．－1C．1D．2解析抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，由题意可知直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－1)，联立，消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16>0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴，∴∴MA·MB＝(x1＋1，y1－2)·(x2＋1，y2－2)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝1＋＋1－4－＋4＝＝0，∴4k2＋4－8k＝0，即k2－2k＋1＝0，∴k＝1，故选C。答案C二、填空题7．(2016·郑州一中一联)顶点在原点，经过圆C：x2＋y2－2x＋2y＝0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为________。解析将圆C的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y＋)2＝3，圆心为(1，－)。由题意，知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点(1，－)。设抛物线的标准方程为y2＝2px，因为点(1，－)在抛物线上，所以(－)2＝2p，解得p＝1，所以所求抛物线的方程为y2＝2x。答案y2＝2x8．(2016·沈阳第一次质检)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________。解析令l与y轴交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，BF＝2，所以AB＝。设P(x0，y0)，则|x0|＝，代入x2＝4y中，则y0＝，故|PF|＝|PA|＝y0＋1＝。答案9．(2017·辽宁五校协作体模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F倾斜角为60°的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于________。解析设|AF|＝m，|BF|＝n，则|BC|＝n，|AD|＝m，|AE|＝m－n，|AF|＋|BF|＝m＋n。在Rt△ABE中，由于∠BAE＝60°，所以cos60°＝，解得＝3，即的值等于3。答案3三、解答题10．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H。(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由。解析(1)由已知得M(0，t)，P。又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝。因此H。所以N为OH的中点，即＝2。(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点。理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)...
