考点8.5空间向量及其应用考点梳理1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|夹角余弦cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝5.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0概念方法微思考1．共线向量与共面向量相同吗？提示不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量．2．零向量能作为基向量吗？提示不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．真题演练1．（2018•新课标Ⅱ）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A．B．C．D．【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，0，，，2，，，0，，，2，，，2，，，，，设异面直线与所成角为，则，，．异面直线与所成角的正切值为．故选．2．（2018•新课标Ⅱ）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，，，，0，，，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为．故选．3．（2018•全国）长方体，，，、、为、、的中点，为上一点，则，求异面直线与所成角的余弦值__________．【答案】【解析】长方体，，，、、为、、的中点，为上一点，则，以为原点，为国，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，2，，，0，，，2，，，0，，，，，，，，设异面直线与所成角为，则．故答案为：．4．（2018•江苏）如图，在正三棱柱中，，点，分别为，的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【解析】如图，在正三棱柱中，设，的中点分别为，，则，，，，故以为基底，建立空间直角坐标系，，，，，，0，，，1，，，，，，0，，，1，．（1）点为的中点．，，．．异面直线与所成角的余弦值为：；（2）为的中点．，，设平面的一个法向量为，，，由，可取，，，设直线与平面所成角的正弦值为，，直线与平面所成角的正弦值为．强化训练1．（2020•东湖区校级三模）如图，在棱长为4的正方体...
