【状元之路】2016届高考数学理一轮总复习第8章解析几何练习9（含解析）新人教A版1．[2014·湖北]在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)．求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解析：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x，C2：y＝0(x＜0)．依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.当k≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．②设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③(ⅰ)若由②③解得k＜－1，或k＞.即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．(ⅱ)若或由②③解得k∈{－1，}，或－≤k＜0.即当k∈{－1，}时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当k∈时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．故当k∈∪{－1，}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．(ⅲ)若由②③解得－1＜k＜－，或0＜k＜.即当k∈∪时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．综上可知，当k∈(－∞，－1)∪∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈∪{－1，}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈∪时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．2．[2014·湖南]如图，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．解析：(1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)．于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2，故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1,0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1.由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2＞0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)＜0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.而0＜2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.3．[2014·山东]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．(1)求C的方程；(2)若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.(ⅰ)证明直线AE过定点，并求出定点坐标；(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解析：由题意知F.设D(t,0)(t>0)，则FD的中点为.因为|FA|＝|FD|，由抛物线的定义知3＋＝|t－|，解得t＝3＋p或t＝－3(舍去)．由＝3，解得p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)(ⅰ)由(1)知F(1,0)，设A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD,0)(xD>0)，因为|FA|＝|FD|，则|xD－1|＝x0＋1，由xD>0得xD＝x0＋2，故D(x0＋2,0)．故直线AB的斜率kAB＝－.因为直线l1和直线AB平行，设直线l1的方程为y＝－x＋b，代入抛物线方程得y2＋y－＝0，由题意Δ＝＋＝0，得b＝－.设E(xE，yE)，则yE＝－，xE＝.当y≠4时，kAE＝＝－＝，可得直线AE的方程为y－y0＝(x－x0)，由y＝4x0，整理可得y＝(x－1)，直线AE恒过...
