专题16圆锥曲线中的热点问题文【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题例1、【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.（I）求椭圆C的方程；（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.（i）求证：点M在定直线上;（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线方程为，令得，所以，又，所以，，所以，令，则，当，即时，取得最大值，此时，满足，所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.【变式探究】椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(－5，0)任作一直线l交椭圆C于M，N两点，记MQ＝λQN，线段MN上的点R满足MR＝－λRN，求点R的轨迹方程．因为点M，N在椭圆C上，所以所以第二个等式两边同乘λ2，两式相减得x4＝－3－①.由MR＝－λRN，得（x－x3，y－y3）＝－λ（x4－x，y4－y），即x－x3＝－λ（x4－x），即（1－λ）x＝x3－λx4＝－2λx4－5（1＋λ）②.把①代入②得（1－λ）x＝λ－1，根据已知λ≠1，所以x＝－1.由解得y＝±.所以点R的轨迹方程为x＝－1（－b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，A是椭圆上一点，AF2⊥F1F2，原点O到直线AF1的距离为.(1)求椭圆的方程．(2)是否存在过F2的直线l交椭圆于B，C两点，且满足△BOC的面积为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【特别提醒】解析几何中存在探索性问题的解法和其他的存在探索性问题的解法的思想是一致的，即在假设其存在的情况下进行计算和推理，根据得出的结果是否合理确定其存在与否．【命题热点突破二】圆锥曲线中的定点、定值问题例2、【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为；②求p的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析，②【解析】【变式探究】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(1，)，离心率为，过椭圆右顶点的两条斜率之积为－的直线分别与椭圆交于点M，N.(1)求椭圆C的标准方程．(2)直线MN是否过定点D？若过，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．设直线AN的斜率为k′，则kk′＝－，即k′＝－，把点M坐标中的k替换为－，得N.当M，N的横坐标不相等，即k≠±时，kMN＝，直线MN的方程为y－＝（x－），即y＝x，该直线恒过定点（0，0）.当k＝±时，M，N的横坐标为零，直线MN也过定点（0，0）.综上可知，直线MN过定点D（0，0）.方法二：当直线MN的斜率存在时，设MN：y＝kx＋m，代入椭圆方程得（1＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝.设右顶点为A（2，0），根据已知·＝－，即4y1y2＋（x1－2）（x2－2）＝0，即（1＋4k2）x1x2＋（4km－2）（x1＋x2）＋4m2＋4＝0，所以（1＋4k2）·＋（4km－2）（－）＋4m2＋4＝0，即（4km－2）（－8km）＋8m2（1＋4k2）＝0，即m2＋2km＝0，得m＝0或m＝－2k.当m＝0时，直线y＝kx经过定点D（0，0）.由于AM，AN的斜率之积为负值，故点M，N在椭圆上位于x轴的两侧，直线MN与x轴的交点一定在椭圆内部，而当m＝－2k时，直线y＝kx－2k过定点（2，0），这是不可能的.当MN的斜率不存在时，点M，N关于x轴对称，此时AM，AN的斜率分别为一，，此时M，N恰为椭圆的上下顶点，直线MN也过定点（0，0）.综上可知，直线MN过定点D（0，0）.【特别提醒】证明直线...
