3.3排序不等式自我小测1．设a，b＞0，P＝a3＋b3，Q＝a2b＋ab2，则P与Q的大小关系是()A．P＞QB．P≥QC．P＜QD．P≤Q2．已知a，b，c都是正数，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)的正负情况是()A．大于零B．大于或等于零C．小于零D．小于或等于零3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B4．设a，b，c＞0，则式子M＝a5＋b5＋c5－a3bc－b3ac－c3ab与0的大小关系是()A．M≥0B．M≤0C．M与0的大小关系与a，b，c的大小有关D．不能确定5．已知a，b，c都是正数，则＋＋≥________.6．n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为________．7．设a，b，c都是正实数，求证：aabbcc≥3abcabc.8．设a，b，c都是正实数，求证：＋＋≤.1参考答案1．B2．解析：设a≥b≥c＞0，所以a3≥b3≥c3，根据排序不等式，得a3×a＋b3×b＋c3×c≥a3b＋b3c＋c3a.又知ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.答案：B3．解析：依序列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn,则x2，x3，…，xn，x1为序列{xn}的一个排列．依排序不等式，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即x＋x＋…＋x≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.答案：C4．解析：不妨设a≥b≥c＞0，则a3≥b3≥c3，且a4≥b4≥c4，则a5＋b5＋c5＝a·a4＋b·b4＋c·c4≥a·c4＋b·a4＋c·b4.又a3≥b3≥c3，且ab≥ac≥bc，∴a4b＋b4c＋c4a＝a3·ab＋b3·bc＋c3·ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab∴a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.∴M≥0.答案：A5．解析：设a≥b≥c＞0，所以≥≥.由排序不等式，知＋＋≥＋＋，①＋＋≥＋＋.②①＋②，得＋＋≥.答案：6．解析：设0＜a1≤a2≤a3…≤an，则0＜a≤a≤…≤a，则由排序不等式得：反序和≤乱序和≤顺序和．∴最小值为反序和a1·a＋a2·a＋…＋an·a＝n.答案：n7．证明：不妨设a≥b≥c＞0，则lga≥lgb≥lgc，据排序不等式，有alga＋blgb＋clgc≥blga＋clgb＋algc，alga＋blgb＋clgc≥clga＋algb＋blgc，且alga＋blgb＋clgc＝alga＋blgb＋clgc，以上三式相加整理，得3(alga＋blgb＋clgc)≥(a＋b＋c)(lga＋lgb＋lgc)，即lg(aabbcc)≥·lg(abc)．故aabbcc≥3abcabc.8．证明：设a≥b≥c＞0，则≥≥，而≥≥.由不等式的性质，知a5≥b5≥c5.根据排序不等式，知＋＋≥＋＋＝＋＋.2又由不等式的性质，知a2≥b2≥c2，≥≥.由排序不等式，得＋＋≥＋＋＝＋＋.由不等式的传递性，知＋＋≤＋＋＝.∴原不等式成立．3
