专题11数列求和及其综合应用裂项相消求和1．常见的裂项类型(1)＝－；(2)＝；(3)＝；(4)＝；(5)＝＝－
2．裂项相消法求和的基本思想是把数列的通项公式an拆分成an＝bn＋k－bn(k≥1，k∈N*)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{an}的通项公式，使之符合裂项相消的条件．(2019·福建质量检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝2，S5＝15，数列{bn}的前n项和Tn满足Tn＝(n＋5)an
(1)求an；(2)求数列{}的前n项和．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d
依题意，，即，解得a1＝d＝1
所以an＝n
(2)由(1)得，an＝n，所以Tn＝n(n＋5)．当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝n(n＋5)－(n－1)(n＋4)＝2n＋4，当n＝1时，b1＝T1＝6也满足上式，所以bn＝2n＋4(n∈N*)．所以＝＝＝(－)．设{}的前n项和为Pn，则当n≥2时，Pn＝＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝[(1＋＋＋…＋)－(＋＋…＋＋＋)]＝(1＋－－)＝－－
当n＝1时，P1＝＝，也满足上式．综上，Pn＝－－
裂项相消法的技巧在裂项时要注意把数列的通项拆分成的两项一定是某个数列中的相邻的两项，或者是等距离间隔的两项，只有这样才能实现逐项相消，只剩余有限的几项，从而求出其和．【对点训练】(2019·广西三市联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3n＋1＋a(n∈N*)．(1)求a的值及数列{an}的通项公式；(2)由题意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1
令cn＝，则cn＝
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，又Tn＝＋＋＋…＋＋，两式相减得Tn＝＋－，所以Tn＝5－
