四种对称问题的解法几何图形的对称是美观的，又是基本的、常见的、重要的．我们一起来了解解析几何中的点与直线的四种对称问题及其解法．一、点关于点的对称点()Pab，关于点()Qmn，的对称点为(22)Pmanb，，特例，点()Pab，关于点(00)O，的对称点为()ab，．二、直线关于点的对称例1求直线1:210lxy关于点(21)P，的对称直线2l的方程．解法一：因为为P不在直线1l上，且1l与2l关于点(21)，对称，所以12ll∥，故设2:20lxyC．由于点(21)P，到两直线的距离相等，有221122155C，所以7C，或1C（舍去），故所求的方程为270xy．解法二：直线2l上任意一点()Qxy，，关于(21)P，的对称点(42)xy，在直线210xy上，2(4)(2)10xy∴，2:270lxy∴．评注：解法一是利用线线平行及点到两直线距离相等来解；解法二是设动点，运用“轨迹法”求解，这也是求解曲线方程的一般方法．一般地，直线0AxByC关于点()ab，对称的直线方程为(2)(2)0AaxBbyC．三、点关于直线的对称例2已知直线:330lxy，求点(45)P，关于直线l的对称点．解法一：设(45)P，关于直线l的对称点为()Pxy，，显然4x，则PPl，线段PP的中点在直线l上．45330225143xyyx，．∴27.xy，∴(27)P，∴即为所求的点．评注：此解法最常用，其关键是利用“垂直”、“平分”．一般地，若点00()Pxy，关于直线:0lAxByC的对称点为()Pxy，，则000222()AxxAxByCAB，000222()ByyAxByCAB．解法二：设(45)P，关于直线l的对称点为()Pxy，，则PPl，故设直线:30PPxyC．又点(45)P，在直线PP上，4350C∴，19C．∴直线:3190PPxy．由3190330xyxy，，得16.xy，此点即为PP的中点，(27)P，∴．用心爱心专心四、直线关于直线的对称例3求直线:20axy关于直线:210lxy对称的直线b的方程．解法一：在直线a上取一点(20)，，运用例2介绍的方法，可求得点(20)P，关于l的对称点41255P，，由方程组20210xyxy，，得直线a与l的交点(11)Q，．直线b过点P与Q，由“两点式”得直线b的方程：780xy。解法二：由解法一知，直线a与l的交点为(11)Q，，设b上任一异于Q点的动点()Pxy，关于直线l的对称点为()Pxy，，210222xxyyyyxx，，·所以1(342)51(434)5xxyyxy，．点()Pxy，在直线a上，11(342)(434)2055xyxy∴，整理，得780xy，将点(11)Q，代入上式仍成立．∴直线:780bxy．解法三：先求直线a与l的交点为(11)Q，，再设直线b的方程为1(1)ykx，即10kxyk，由于对称关系可知直线l上的点到两直线a与b的距离相等．取l上一点(10)M，，则212121kkk，1271kk，∴（舍去），∴直线:780bxy．评注：三种解法都是常用方法，都注意利用几何性质．解法一是抓住了对称关系的转化（线关于线对称转化为点关于线对称）；解法二抓住P与P′是一对“相关点”，利用“相关点”的性质求出直线b上的动点的轨迹，这是求曲线关于直线对称方程的常用方法；解法三利用点到直线的距离相等，非常简捷，充分体现了利用几何性质的优越性．用心爱心专心
