第二节函数的单调性与最值A组基础题组1.函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1
f(x2)”的是()A.f(x)=1xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)答案A由题意知f(x)在(0,+∞)上是减函数.A中,f(x)=1x满足要求;B中,f(x)=(x-1)2在[0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;C中,f(x)=ex是增函数;D中,f(x)=ln(x+1)是增函数.2.函数f(x)={x+1,x≥0,x-1,x<0在R上是()A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性答案B函数f(x)的图象如图所示,由图结合单调性的定义可知,此函数在R上是增函数.3.已知函数f(x)={x3,x≤0,ln(x+1),x>0,若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-1,2)D.(-2,1)答案D因为当x=0时,两个表达式对应的函数值都为0,所以函数的图象是一条连续的曲线.因为当x≤0时,f(x)=x3为增函数,当x>0时,f(x)=ln(x+1)也是增函数,所以函数f(x)是定义在R上的增函数.因此,不等式f(2-x2)>f(x)等价于2-x2>x,即x2+x-2<0,解得-20,x1≠x2,若f(a2-a)>f(2a-2),则实数a的取值范围为()A.[-1,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[-1,1)答案C由题意知函数在[-2,2]上单调递增,∴{-2≤a2-a≤2,-2≤2a-2≤2,2a-22,∴0≤a<1,故选C.6.设函数f(x)={1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.答案[0,1)解析易知g(x)={x2,x>1,0,x=1,-x2,x<1.画出g(x)的图象如图所示,其递减区间是[0,1).7.已知函数f(x)={x2,x≤1,x+6x-6,x>1,则f(x)的最小值是.答案2√6-6解析因为y=x2在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,所以当x≤1时,f(x)min=f(0)=0.当x>1时,y=x+6x≥2√6,当且仅当x=√6时,等号成立,此时f(x)min=2√6-6.又2√6-6<0,所以f(x)min=2√6-6.8.f(x)={(3a-1)x+4a,x<1,-ax,x≥1是定义在R上的减函数,则a的取值范围是.2答案[18,13)解析由题意知,{3a-1<0,(3a-1)×1+4a≥-a,a>0,解得{a<13,a≥18,a>0,所以a∈[18,13).9.已知f(x)=xx-a(x≠a).(1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.解析(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,-2),且x10,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,x2-x1>0,所以要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.综上所述,00,试确定a的取值范围.解析(1)设g(x)=x+ax-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,则g'(x)=1-ax2=x2-ax2,易知g'(x)>0.3因此g(x)在[2,+∞)上是增函数,所以f(x)在[2,+∞)上是增函数,则f(x)min=f(2)=lna2.(2)对任意x∈[2,+∞),恒有f(x)>0,即x+ax-2>1对x∈[2,+∞)恒成立.所以a>3x-x2.令h(x)=3x-x2,x∈[2,+∞).由于h(x)=-(x-32)2+94在[2,+∞)上是减函数,所以h(x)max=h(2)=2.故a>2时,恒有f(x)>0.因此实数a的取值范围为(2,+∞).B组提升题组1.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=f(x)x在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”.若函数f(x)=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为()A.[1,+∞)B.[0,√3]C.[0,1]D.[1,√3]答案D因为函数f(x)=12x2-x+32的图象的对称轴为x=1,所以函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,又当x≥1时,f(x)x=12x-1+32x,令g(x)=12x-1+32x(x≥1),则g'(x)=12-32x2=x2-32x2,由g'(x)≤0得1≤x≤√3,即函数y=f(x)x=12x-1+32x在区间[1,√3]上单调递减,故“缓增区间”I为[1,√3].2.设f(x)={(...
