平面向量与复数【考向解读】1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.【命题热点突破一】平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1、【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）（A）－8（B）－6（C）6（D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.【变式探究】(1)设0<θ<，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，则tanθ＝______.(2)如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若AB＝a，AC＝b，且CE＝xa＋yb，则x＋y＝________.【答案】(1)(2)－【解析】(1)因为a∥b，所以sin2θ＝cos2θ，2sinθcosθ＝cos2θ.因为0<θ<，所以cosθ>0，得2sinθ＝cosθ，tanθ＝.(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．方法二易得EF＝MD，MD＝CF，所以EF＝CF，所以CE＝CF.因为CF＝CA＋AF＝－AC＋AF＝－b＋a，所以CE＝(－b＋a)＝a－b.所以x＝，y＝－，则x＋y＝－.【感悟提升】(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【变式探究】(1)已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是()A．m＋n＝1B．m＋n＝－1C．mn＝1D．mn＝－1(2)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________；y＝________.【答案】(1)C(2)－【解析】(1)因为A，B，D三点共线，所以AB＝λAD⇔i＋mj＝λ(ni＋j)，m≠1，又向量i与j不共线，所以所以mn＝1.(2)如图，MN＝MC＋CN＝AC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC，∴x＝，y＝－.【命题热点突破二】平面向量的数量积(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ.(2)三个结论①若a＝(x，y)，则|a|＝＝.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.③若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.例2、【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.【答案】【变式探究】(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD的值是________．(2)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA·OB＝6，则|OG|的最小值是________．【答案】(1)22(2)2【解析】(1)由CP＝3PD，得DP＝DC＝AB，AP＝AD＋DP＝AD＋AB，BP＝AP－AB＝AD＋AB－AB＝AD－AB.因为AP·BP＝2，所以(AD＋AB)·(AD－AB)＝2，即AD2－AD·AB－AB2＝2.又因为AD2＝25，AB2＝64，所以AB·AD＝22.(2)如图，在△AOB中，OG＝OE＝×(OA＋OB)＝(OA＋OB)，又OA·OB＝|OA||OB|·cos60°＝6，∴|OA||OB|＝12，∴|OG|2＝(OA＋OB)2＝(|OA|2＋|OB|2＋2OA·OB)＝(|OA|2＋|OB|2＋12)≥×(2|OA||OB|＋12)＝×36＝4(当且仅当|OA|＝|OB|时取等号)．∴|OG|≥2，故|OG|的最小值是2.【感悟提升】(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．【命题热点突破三】平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．例3、已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α
