高考数学 考点8 数列的综合应用练习-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

考点8数列的综合应用1.（2010·湖北高考理科·Ｔ7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设nS为前n个圆的面积之和，则limnnS（）（A）22r（B）283r（C）24r（D）26r【命题立意】本题主要考查正六边形的性质、正六边形的内切圆半径与其边长的关系、等比数列的通项公式和前ｎ项和公式的应用，考查无穷递缩等比数列前n项和极限的计算，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】先由正六边形的内切圆半径与其边长的关系求出相邻两圆的半径的关系，从而将所有内切圆的面积按从大到小的顺序排列构造一个等比数列na，由公比(0,1)q知limnnS11aq．【规范解答】选C．设正六边形第n个内切圆的半径为nr，面积为na，则013cos302nnrr°013cos302nnrr，从而1na=34na，由21ar，34q，(0,1)q知na是首项为2r，公比为34的等比数列，所以limnnS11aq=2314r=42r.【方法技巧】对于等比数列na，若公比1q，则其前n项和nS当n趋向于无穷大时极限存在且limnnS11aq.2.（2010·上海高考理科·Ｔ１0）在n行n列矩阵12321234113451212321nnnnnnnnnn中，记位于第i行第j列的数为aij(i,j=1,2,…，n)．当9n时，11223399aaaa．【命题立意】本题考查学生的分析推理和归纳能力．【思路点拨】观察矩阵的特点，找到n=9时aij(i,j=1,2,…，9)对应的数，再求解．【规范解答】当9n时，11223399aaaa1+3+5+7+9+2+4+6+8=45.【答案】45【方法技巧】本题观察一定要仔细认真，因为n=9个数不多，可以将矩阵列出来再求解．13.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知数列na满足:112a,11312111nnnnaaaa,101nnaan.数列nb满足：nb=21na2na（n≥1）.(Ⅰ)求数列na，nb的通项公式;(Ⅱ)证明:数列nb中的任意三项不可能成等差数列.【命题立意】本题主要考查等差、等比数列的定义，考查利用数列递推关系式求数列通项的思想，考查反证法及考生的推理论证能力．【思路点拨】(Ⅰ)由题意构造新数列nc满足：21nnca，先求nc的通项公式，再求na的通项公式，最后求nb的通项公式.(Ⅱ)用反证法证明.【规范解答】(Ⅰ)由题意可知：22121(1)3nnaa，令21nnca，则123nncc，又211314ca，所以数列nc是以34为首项，23为公比的等比数列，即132()43nnc，故21321()43nna.又112a>0，10nnaa，故1132(1)1()43nnna，nb21na2na=32[1()]43n132[1()]43n=112()43n.(Ⅱ)证明：（反证法）假设数列nb存在三项rb，sb，tb()rst按某种顺序构成等差数列，由于数列nb是以14为首项，23为公比的等比数列，于是一定有rstbbb，则只能有2srtbbb成立，即：1111212122()()()434343srt，两边同乘以1132tr可得：22332srtstrtr①，由于rst，所以①式左边为偶数，右边为奇数，从而①式不可能成立，导致矛盾.故数列nb中的任意三项不可能成等差数列.【方法技巧】已知数列的递推关系式求通项公式较困难时，通常都要先构造新的数列，利用等差、等比数列的通项公式或累加、累乘的方法求出新数列的通项公式，再求题设中数列的通项公式.4.（2010·重庆高考理科·Ｔ21）在数列na中，1a=1，1121*nnnacacnnN，其中实数0c.2（1）求na的通项公式.（2）若对一切*kN有221kkaa，求c的取值范围.【命题立意】本小题考查归纳、猜想解题，考查数学归纳法及其应用，考查数列的基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查分类讨论的思想.【思路点拨】（1）先求出数列na的前几项，归纳猜想得出结论，再用数学归纳法证明或将所给等式变形构造新数列，利用新数列求解.（2）对恒成立问题进行等价转化.【规范解答】（1...