课时跟踪检测(五十二)[高考基础题型得分练]1．双曲线x2－my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m＝()A.B.C．2D．4答案：D解析：双曲线的方程可化为x2－＝1，∴实轴长为2，虚轴长为2，∴2＝2×2，解得m＝4.2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1答案：A解析：由题意，设双曲线C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为－x2＝－3，即－＝1.3．[2017·吉林长春模拟]已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A.B.C．2D．5答案：D解析：不妨设点P位于第一象限，F1为左焦点，|PF2|＝m－d，|PF1|＝m，|F1F2|＝m＋d，其中m＞d＞0，则有(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，解得m＝4d，故双曲线的离心率e＝＝5.4．若双曲线x2＋＝1的一条渐近线的倾斜角α∈，则m的取值范围是()A．(－3,0)B．(－，0)C．(0,3)D.答案：A解析：由题意可知m<0，双曲线的标准方程为x2－＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y＝x，因为其倾斜角α∈，所以＝tanα∈(0，)，故m∈(－3,0)．5．[2017·河南郑州模拟]已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F作斜率为－1的直线交双曲线的渐近线于点P，点P在第一象限，O为坐标原点，若△OFP的面积为，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案：C1解析：如图所示，由kPF＝－1，得∠PFO＝，由kOP＝tan∠POF＝，得sin∠POF＝＝，cos∠POF＝＝，所以sin∠OPF＝sin＝×＋×＝.又 S△OPF＝c·|PF|·＝＝，得|PF|＝，由正弦定理，得＝，整理得a＝3b，又a2＋b2＝c2，故e＝.6．[2015·新课标全国卷Ⅰ]已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2＜0，则y0的取值范围是()A.B.C.D.答案：A解析：由题意知，a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴MF1＝(－－x0，－y0)，MF2＝(－x0，－y0)． MF1·MF2＜0，∴(－－x0)(－x0)＋y＜0，即x－3＋y＜0. 点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y＜0，∴－＜y0＜.故选A.7．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．答案：44解析：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.∴|PQ|＝4b＝16>2a.又 A(5,0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知，∴|PF|＋|QF|＝28.2∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.8．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．答案：＋1解析：因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，所以e＝＝＝＋1.9．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．答案：2＋解析：如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入－＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－b)，此时kPF2＝＝，得到c＝(2＋)a，即双曲线C的离心率e＝＝2＋.10．[2017·江南十校联考]已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0.(1)解： e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． 双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线的方程为x2－y2＝6.(2)证明：证法一：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴kMF1＝，kMF2＝，kMF1·kMF2＝＝－. 点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴MF1·MF2＝0.证法二：由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m)，3∴MF1·MF2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2， 点M(3,0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1·MF2＝0.[冲刺名校能力提升练]1．如图，F1，F2是椭圆C1：＋y...
