平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题知识拓展1.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2].几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：(1)PM·PN＝[PQ2－NM2](平行四边形模式)；(2)PM·PN＝PO2－NM2(三角形模式).3.平面向量中的最值(范围)问题(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).题型突破题型一极化恒等式的应用【例1】(1)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________.(2)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA·PB的取值范围是________.解析(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得AB·AC＝AM2－BC2＝9－×100＝－16.(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2.又由极化恒等式得PA·PB＝PD2－AB2＝PD2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，PDmax＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，PDmin＝1，所以PA·PB∈[－2，6].答案(1)－16(2)[－2，6]【训练1】(1)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·DA的值为________.(2)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为()A.2B.3C.6D.8解析(1)取AE中点O，设AE＝x(0≤x≤1)，则AO＝x，∴DE·DA＝DO2－AE2＝12＋－x2＝1.(2)如图，由已知|OF|＝1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得OP·FP＝|PE|2－|OF|2＝|PE|2－， |PE|＝，∴OP·FP的最大值为6.答案(1)1(2)C题型二平面向量中的最值(范围)问题类型1利用函数型【例2－1】(1)设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b－ta|的最小值为1，则()A.若θ确定，则|a|唯一确定B.若θ确定，则|b|唯一确定C.若|a|确定，则θ唯一确定D.若|b|确定，则θ唯一确定(2)已知m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，则|m＋n|＋|n|的最大值为()A.B.C.4D.5解析(1)由|b－ta|的最小值为1知(b－ta)2的最小值为1，令f(t)＝(b－ta)2，即f(t)＝b2－2ta·b＋t2a2，则对于任意实数t，f(t)的最小值为＝＝1，化简得b2(1－cos2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.(2)因为(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝＋|n|.令|n|＝x(00时，当0(x≥0)，所以函数f(x)＝在[0，＋∞)上单调递增，则当tanθ＝0时，λ＋μ＝取得最小值.综上所述，λ＋μ的最小值为.答案(1)42(2)[0，1]类型2利用不等式型【例2－2】(1)(2020·浙江名校新高考研究联盟三联)已知边长为1的正方形ABCD...
