第2课时求空间角和距离1．(2019·上海市一模)如图，点A、B、C分别在空间直角坐标系O－xyz的三条坐标轴上，OC＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2,1,2)，设二面角C－AB－O的大小为θ，则cosθ＝()A．－B.C.D．－解析：C[ 点A、B、C分别在空间直角坐标系O－xyz的三条坐标轴上，OC＝(0,0,2)，平面ABC的法向量为n＝(2,1,2)，二面角C－AB－O的大小为θ，∴cosθ＝＝＝.故选C.]2．(2019·金华市模拟)在空间直角坐标系O－xyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．1解析：B[由已知平面OAB的一条斜线的方向向量OP＝(－1,3,2)，所以点P到平面OAB的距离d＝|OP|·|cos〈OP，n〉|＝＝＝2.故选B.]3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A.B.C.D.解析：A[ AB＝1，AC＝2，BC＝，AC2＝BC2＋AB2，∴AB⊥BC. 三棱柱为直三棱柱，∴BB1⊥平面ABC.以B为原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则A(0,1,0)，C(，0,0)．设B1(0,0，a)，则C1(，0，a)，∴D，E，∴DE＝，平面BB1C1C的法向量BA＝(0,1,0)．设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α，则sinα＝|cos〈DF，BA〉|＝，∴α＝.]4．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，则平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为()A．－B．－C.D.解析：A[建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(，0,0)，A(0,1,0)，B1(，0,1)，D，CD＝，CB＝(，0,0)，BA＝(－，1,0)，BB1＝(0,0,1)．设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1，n2，可得n1＝(0,1，－1)，n2＝(1，，0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，又平面B1BD与平面CBD所成的二面角的平面角与〈n1，n2〉互补，故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为－.故选A.]5．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为()A.B.C．2D.解析：A[如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)．设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB1＝(0,2,2)．设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)．由，得，令z＝－1，则m＝(a,1，－1)．又平面C1DC的一个法向量为n＝(0,1,0)，则由cos60°＝，得＝，解得a＝，所以AD＝.故选A.]6．如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________．解析： AE∶ED∶AD＝1∶1∶，∴AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0,2,1)，∴AF＝(－1,2,0)，EC＝(0,2,1)，∴cos〈AF，EC〉＝＝＝，∴AF与CE所成角的余弦值为.答案：7．正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．解析：以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2,0,0)，C1(0,0,2)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以AC1＝(－2,0,2)，AC2＝，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.又θ∈，所以θ＝.答案：8．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．解析：如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴D1A1＝(2,0,0)，DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0).设平面A1BD的一个法向量n＝(x，y，z)，则.令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.答案：9．(2019·乌鲁木齐一模)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AA1＝AC＝AB，M，N分别为BC，A1C1的中点．(1)求证AM⊥BN；(2)求二面角B1－BN－A1的余弦值．解：(1)证明：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图空间直角坐标系A－xyz，设AB＝1，则AA1＝AC＝，A(0,0,0)，M，B(1,0,0)，N，A1(0,0，)，B1(1,0，)，∴AM＝，BN＝， AM·BN＝－＋＋0＝0，∴AM⊥BN.(2) 直三棱柱ABC－A1B1C...
