课时跟踪检测(五十四)[高考基础题型得分练]1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c.又斜边长为2，即2c＝2，故c＝b＝1，a＝，椭圆方程为＋y2＝1.(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋2＝；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.由得故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1)．下面证明Q(0,1)为所求：若直线l的斜率不存在，上述已经证明．若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，QA＝(x1，y1－1)，QB＝(x2，y2－1)，QA·QB＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＝(1＋k2)·－·＋＝0，∴QA⊥QB，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1)．2．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知其左焦点为F′(－2,0)．从而有解得又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.因为直线l与椭圆C有公共点，所以Δ＝(3t)2－4×3×(t2－12)≥0，解得－4≤t≤4.另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±2.由于±2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在．[冲刺名校能力提升练]1．已知直线l：y＝x＋，圆O：x2＋y2＝5，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值．(1)解：设椭圆半焦距为c，圆心O到l的距离d＝＝，则l被圆O截得的弦长为2，所以b＝.由题意得又b＝，∴a2＝3，b2＝2.∴椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为y－y0＝k(x－x0)，整理得y＝kx＋y0－kx0，联立直线l0与椭圆E的方程消去y，得2[kx＋(y0－kx0)]2＋3x2－6＝0，整理得(3＋2k2)x2＋4k(y0－kx0)x＋2(kx0－y0)2－6＝0，∵l0与椭圆E相切，∴Δ＝[4k(y0－kx0)]2－4(3＋2k2)[2(kx0－y0)2－6]＝0，整理得(2－x)k2＋2x0y0k－(y－3)＝0，设满足题意的椭圆E的两条切线的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝－.∵点P在圆O上，∴x＋y＝5，∴k1k2＝－＝－1.∴两条切线斜率之积为常数－1.2．已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．解：(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，依题意，点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2，设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0＝x.由y′＝x，得切线l的斜率k＝y′|x＝x0＝x0，所以切线l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x.由得A.由得M.又N(0,3)，所以圆心C，半径r＝|MN|＝，|AB|＝＝＝.所以点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．3．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，B为短轴的一个端点，△A1BA2的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：x＝2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1，A2的动点，直线A1P，A2P分别交直线l于E，F两点，求证：|DE|·|DF|为定值．(1)解：由已知，可得解得a＝2，b＝.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)证明：由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0)．设P(x0，y0)，由题意可得－2
