圆锥曲线0415
满分12分）已知椭圆的一个顶点为B，离心率，直线l交椭圆于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（II）如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线的方程．【答案】解：（1）由已知，且，即，∴，解得，∴椭圆的方程标准为；………………5分（2）椭圆右焦点F的坐标为，设线段MN的中点为Q，由三角形重心的性质知，又，∴，故得，求得Q的坐标为；……………………8分设，则，且，……………………10分以上两式相减得，，故直线MN的方程为，即．……………………12分16
（本小题满分12分）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．(1)求曲线的标准方程；(2)直线与椭圆相交于，两点，若的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．【答案】解：（1）依题意，，,利用抛物线的定义可得，点的坐标为………2分,又由椭圆定义得
…4分，所以曲线的标准方程为；……6分（2）（方法一）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，设直线方程为与联立得由①……8分由韦达定理得将M(,)代入整理得②…10分将②代入①得令则且………12分（方法二）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，将的坐标代入椭圆方程中，得两式相减得，……7分，直线的斜率，………8分由，，解得，或（舍）由题设，，……10分即
………12分17
（本小题满分14分）如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积．【答案】（Ⅰ）解：依题意，得………………2分解得，．………………3分所以椭圆的方程为．………………4分（Ⅱ）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．………………6分设，．所以………………8分证法一：记△的面积是，△的面积是．由，，则．………10分因为，所以，………13分从而．……………14分
