圆锥曲线0415.满分12分）已知椭圆的一个顶点为B，离心率，直线l交椭圆于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（II）如果ΔBMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线的方程．【答案】解：（1）由已知，且，即，∴，解得，∴椭圆的方程标准为；………………5分（2）椭圆右焦点F的坐标为，设线段MN的中点为Q，由三角形重心的性质知，又，∴，故得，求得Q的坐标为；……………………8分设，则，且，……………………10分以上两式相减得，，故直线MN的方程为，即．……………………12分16.（本小题满分12分）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．(1)求曲线的标准方程；(2)直线与椭圆相交于，两点，若的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．【答案】解：（1）依题意，，,利用抛物线的定义可得，点的坐标为………2分,又由椭圆定义得.…4分，所以曲线的标准方程为；……6分（2）（方法一）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，设直线方程为与联立得由①……8分由韦达定理得将M(,)代入整理得②…10分将②代入①得令则且………12分（方法二）设直线与椭圆交点，的中点的坐标为，将的坐标代入椭圆方程中，得两式相减得，……7分，直线的斜率，………8分由，，解得，或（舍）由题设，，……10分即.………12分17.（本小题满分14分）如图，，是椭圆的两个顶点．，直线的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于．证明：△的面积等于△的面积．【答案】（Ⅰ）解：依题意，得………………2分解得，．………………3分所以椭圆的方程为．………………4分（Ⅱ）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得．………………6分设，．所以………………8分证法一：记△的面积是，△的面积是．由，，则．………10分因为，所以，………13分从而．……………14分证法二：记△的面积是，△的面积是．则线段的中点重合．……10分因为，所以，．故线段的中点为．因为，，所以线段的中点坐标亦为．……………13分从而．……………14分18.(本小题满分12分)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，对称轴为坐标轴，且经过点．（I）求椭圆的方程；（II）直线与椭圆相交于、两点，为原点，在、上分别存在异于点的点、，使得在以为直径的圆外，求直线斜率的取值范围．【答案】（I）依题意，可设椭圆的方程为．由∵椭圆经过点，则，解得∴椭圆的方程为（II）联立方程组，消去整理得∵直线与椭圆有两个交点，∴，解得①∵原点在以为直径的圆外，∴为锐角，即．而、分别在、上且异于点，即设两点坐标分别为，则解得，②综合①②可知：19.（本题14分）已知椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：过A，F2两点.（1）求椭圆E的方程；（2）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B,C,点Q为椭圆E上的一点，若直线QB,QC的斜率存在且不为0，求证：为定值；（3）设直线PF2的倾斜角为，直线的倾斜角为，当时，证明：点P在一定圆上.【答案】
