第3讲函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(×)(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)2．(2014·广东卷)下列函数为奇函数的是()A.y＝2x－B．y＝x3sinxC．y＝2cosx＋1D．y＝x2＋2x解析易知y＝2x－是奇函数，y＝x3sinx和y＝2cosx＋1是偶函数，y＝x2＋2x是非奇非偶函数，故选A.答案A3．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．答案C4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2015)等于()A．－2B．2C．－98D．98解析 f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2015)＝－2.答案A5．(人教A必修1P39A6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝________.解析当x＜0时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，∴f(x)＝x(1－x)．答案x(1－x)考点一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xlg(x＋)；(2)f(x)＝(1－x)；(3)f(x)＝(4)f(x)＝.解(1) ＞|x|≥0，∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)lg(－x＋)＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)．即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当且仅当≥0时函数有意义，∴－1≤x＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．(4) ⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数的定义域关于原点对称．∴f(x)＝＝，又f(－x)＝＝－，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．规律方法判断函数的奇偶性，包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性...
