2018版高考数学一轮复习第八章立体几何课时跟踪检测45理新人教A版[高考基础题型得分练]1．[2017·河北秦皇岛模拟]已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案：C解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，E(1,0,1)，D1(0,0,2)．所以BE＝(0，－1,1)，CD1＝(0，－1,2)，所以cos〈BE，CD1〉＝＝＝.2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中点，则|MN|＝()A.aB.aC.aD.a答案：A解析：以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)， 点M在AC1上且AM＝MC1，∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，∴x＝，y＝，z＝，则M，1∴|MN|＝＝a.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.答案：B解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，∴A1D＝(0,1，－1)，A1E＝.设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得∴n1＝(1,2,2)． 平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.故所成的锐二面角的余弦值为.4．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°答案：A解析：2如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P.则CA＝(2a,0,0)，AP＝，CB＝(a，a,0)，设平面PAC的一个法向量为n，设n＝(x，y，z)，则解得可取n＝(0,1,1)，则cos〈CB，n〉＝＝＝，∴〈CB，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角是90°－60°＝30°.5．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A.B.C.D.答案：D解析：如图，建立空间直角坐标系．则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，D1A1＝(2,0,0)，DB＝(2,2,0)．设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令z＝1，得n＝(－1,1,1)．∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.6．[2017·河南郑州模拟]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．答案：解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，3设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量．则即令z＝2，则y＝1，x＝2，于是n＝(2,1,2)，D1C1＝(0,2,0)，设所求线面角为α，则sinα＝|cos〈n，D1C1〉|＝.7．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为________．答案：解析：取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴OA＝，BA＝，BD＝.设平面ABD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则BA·n＝0，且BD·n＝0，∴＋z0＝0，且x0＋＝0，因此取x0＝1，得平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)．由于OA＝为平面BCD的一个法向量，∴cos〈n，OA〉＝，∴sin〈n，OA〉＝.8．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．4答案：60°解析：以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.9．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．5(1)证明： PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC. AB＝2，AD＝CD＝1，∠ADC＝90°，∴AC＝BC＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC. AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解：如图，以C为原点，DA，CD，CP分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)．设P(0,0，a)(a＞0)，则E，CA＝(1,1,0)，CP＝(0,0，a)，CE＝，取m...
