第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用函数图象研究函数零点1,5利用函数性质研究函数零点2,3构造函数研究函数零点41.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有三个互不相同的公共点,求a的取值范围.解:先求函数f(x)的单调区间,令f′(x)=3x2-3=0,解得x=±1,当x<-1或x>1时,f′(x)>0,当-10).(1)求f(x)的单调区间;(2)设b=1,若方程f(x)=0有且只有一个实根,求a的取值范围.解:(1)f′(x)=3bx2-3(2b+1)x+6=3(x-2)(bx-1),令f′(x)=0得x=2或x=,①当<2即b>时,f(x)在(-∞,)和(2,+∞)上递增,在(,2)上递减.②当>2即00或f(1)<0即可,f(2)=2+a>0或f(1)=+a<0,所以a>-2或a<-.所以a的取值范围为(-∞,-)∪(-2,+∞).3.导学号38486074已知函数f(x)=x-aex,a∈R.1(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程;(2)若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)=x-ex,f′(x)=1-ex.当x=0时,y=-1,又f′(0)=0,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-1.(2)由f(x)=x-aex,得f′(x)=1-aex.当a≤0时,f′(x)>0,此时f(x)在R上单调递增.f(a)=a-aea=a(1-ea)≤0,f(1)=1-ae>0,f(a)·f(1)<0,由零点存在性定理,当a≤0时,曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点.当a>0时,令f′(x)=0,得x=-lna.f(x)与f′(x)在区间(-∞,+∞)上的情况如表:x(-∞,-lna)-lna(-lna,+∞)f′(x)+0-f(x)↗极大值↘若曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点,则有f(-lna)=0,即-lna-ae-lna=0,解得a=.综上所述,曲线y=f(x)与x轴有且只有一个交点时,a的取值范围为{a︱a≤0或a=}.4.(2017·广东深圳一模)已知三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a,b,c∈R)过点(3,0),且函数f(x)在点(0,f(0))处的切线恰好是直线y=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=9x+m-1,若函数y=f(x)-g(x)在区间[-2,1]上有两个零点,求实数m的取值范围.解:(1)f′(x)=3x2+2bx+c,由已知条件得,解得b=-3,c=d=0,所以f(x)=x3-3x2.(2)由已知条件得,f(x)-g(x)=0在[-2,1]上有两个不同的解;即x3-3x2-9x-m+1=0在区间[-2,1]上有两个不同的解,即m=x3-3x2-9x+1在[-2,1]上有两个不同的解.令h(x)=x3-3x2-9x+1,h′(x)=3x2-6x-9,x∈[-2,1],解3x2-6x-9>0得-2≤x<-1,解3x2-6x-9<0得-10,解得x>1;令f′(x)<0,解得0-1,即m>-2,①当0e时,f(x)>0;当x>0且x→0时,f(x)→0;当x→+∞时,显然f(x)→+∞.由图象可知,m+1<0,即m<-1,②由①②可得-2
