一比较法基础巩固1设t=a+2b,s=a+b2+1,则下列t与s的大小关系正确的是()A.t>sB.t≥sC.t
QB.P0,Q>0.∴P2-Q2¿(√a+√b√2)2−(√a+b)2¿-(√a-√b)22≤0.∴P2-Q2≤0.∴P≤Q.答案：D3已知a>0,且a≠1,P=loga(a3+1),Q=loga(a2+1),则P,Q的大小关系是()A.P>QB.P0,即P-Q>0.∴P>Q.当a>1时,a3+1>a2+1>0,a3+1a2+1>1,∴logaa3+1a2+1>0,即P-Q>0.∴P>Q.综上可知,P>Q.答案：A4下列命题:①当b>0时,a>b⇔ab>1;1②当b>0时,a0,b>0时,ab>1⇔a>b;④当ab>0时,ab>1⇔a>b.其中是真命题的为()A.①②③B.①②④C.④D.①②③④答案：A5当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系是.解析：∵x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x>1,∴(x-1)(x2+1)>0.∴x3-(x2-x+1)>0,即x3>x2-x+1.答案：x3>x2-x+16若-11b,a2>b2>0,故值最小的是1b.答案：1b7设a,b,m均为正数,且ba0.又a,b,m均为正数,所以a(a+m)>0,m>0.所以a-b>0,即a>b.答案：a>b8若x0,x-y<0.所以-2xy(x-y)>0.2所以M-N>0,即M>N.答案：M>N9已知x>-1,求证:√1+x≤1+x2.证明：因为x>-1,所以1+x>0,√1+x>0.又√1+x−(1+x2)=−12[(x+1)−2√x+1+1]=−(√x+1-1)22≤0,所以√1+x≤1+x2.10设a>0,b>0,且a≠b,求证:aabb>(ab)a+b2.证明：aabb(ab)a+b2=aa-b2bb-a2=(ab)a-b2.当a>b>0时⇒a-b>0⇒ab>1⇒(ab)a-b2>1,当b>a>0时⇒a-b<0⇒ab<1⇒(ab)a-b2>1.故总有(ab)a-b2>1,即aabb(ab)a+b2>1.又(ab)a+b2>0,∴aabb>¿能力提升1设0b·b=b2,A项不正确.∵00,log12a>0,B项不正确.由0ab,D项不正确.故选C.答案：C2如果loga3>logb3,且a+b=1,那么()A.00,b>0,又a+b=1,∴0logb3⇒lg3lga−lg3lgb>0⇒1lga−1lgb>0⇒lgb-lgalgalgb>0lg⇒b>lga⇒b>a.∴0b>0,c>d>0,m¿√ac−√bd,n=√(a-b)(c-d),则m与n的大小关系是()A.mnC.m≥nD.m≤n解析：∵a>b>0,c>d>0,∴ac>bd>0,√ac>√bd.∴m>0,n>0.∵m2=ac+bd-2√abcd,n2=ac+bd-(ad+bc),又ad+bc≥2√abcd,当且仅当ad=bc时,等号成立,∴-2√abcd≥-ad-bc.∴m2≥n2.∴m≥n.答案：C4设x=a2b2+5,y=2ab-a2-4a,若x>y,则实数a,b应满足的条件是.解析：若x>y,则x-y=a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1)2+(a+2)2>0.只要a+2≠0,ab-1≠0两个中满足一个,即可使得x>y.答案：a≠-2或ab≠15设a>b>c>0,x¿√a2+(b+c)2,y=√b2+(c+a)2,z=√c2+(a+b)2,则x,y,z的大小关系为.解析：∵a>b>c>0,∴x>0,y>0,z>0.而x2-y2=a2+b2+2bc+c2-(b2+c2+2ac+a2)=2bc-2ac=2c(b-a)<0,4∴x21,2b>2,则3a-b¿4·2b7>1⇒a-b>0⇒a>b.答案：>7设a,b为非负实数,求证:a3+b3≥√ab(a2+b2).证明：由a,b是非负实数,作差得a3+b3−√ab(a2+b2)=a2√a(√a−√b)+b2√b(√b−√a)=(√a−√b)[(√a)5−(√b)5].当a≥b时,√a≥√b,从而(√a)5≥(√b)5,得(√a−√b)[(√a)5−(√b)5]≥0;当a0.所以a3+b3≥√ab(a2+b2).8已知{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.(1)求q的值;(2)设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.解:(1)由题设知2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q.∵a1≠0,∴2q2-q-1=0.∴q=1或q=−12.(2)若q=1,则Sn=2n+n(n-1)2=n2+3n2=n(n+3)2.当n≥2时,Sn-bn=Sn-1¿(n-1)(n+2)2>0,即Sn>bn.5若q=−12,则Sn=2n+n(n-1)2·(-12)¿-n2+9n4=-n(n-9)4.当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=−(n-1)(n-10)4,故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn;当n=10时,Sn=bn;当n≥11时,Sn0.故ab+1>a+b.6
