专练(五)技法15数形结合思想1.[2019·山东省潍坊市第一次模拟]若x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.-4B.-1C.0D.4答案:C解析:不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,由z=2x-y,得y=2x-z,当直线y=2x-z经过直线y=4和x-y+2=0的交点(2,4)时,z取得最大值,且zmax=0.2.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是()A.1B.2C.D.答案:C解析:因为(a-c)·(b-c)=0,所以(a-c)⊥(b-c).如图所示,设OC=c,OA=a,OB=b,CA=a-c,CB=b-c,即AC⊥BC.又因为OA⊥OB,所以O,A,C,B四点共圆.当且仅当OC为圆的直径时,|c|最大,且最大值为.3.[2019·福州市高中毕业班质量检测]函数f(x)=x2+ln(e-x)ln(e+x)的图象大致为()答案:A解析:因为f(x)的定义域为(-e,e),f(-x)=x2+ln(e+x)ln(e-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除C;因为x→e,f(x)→-∞,排除B,D,故选A.4.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切,则双曲线C的离心率为()A.B.C.2D.答案:D解析:如图所示,设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q,连接OQ,则OQ⊥PF2,又PF1⊥PF2,O为F1F2的中点,所以|PF1|=2|OQ|=2a,又|PF2|-|PF1|=2a,所以|PF2|=4a,在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2⇒4a2+16a2=20a2=4c2⇒e==.5.已知函数f(x)=sin的相邻两条对称轴之间的距离为,将函数f(x)的图象向右平移个单位后,再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍,得到g(x)的图象,若g(x)+k=0在x∈有且只有一个实数根,则k的取值范围是()A.k≤B.-1≤k<-C.--1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为[-1,+∞).故选C.7.[2019·南昌市摸底调研考试]已知函数f(x)=若不等式|f(x)|-mx+2≥0恒成立,则实数m的取值范围为________.答案:[-3-2,0]解析:由f(x)=知|f(x)|=不等式|f(x)|-mx+2≥0恒成立,即|f(x)|≥mx-2恒成立.令g(x)=|f(x)|,h(x)=mx-2,则原不等式恒成立等价于y=h(x)的图象不在y=g(x)图象的上方.h(x)=mx-2是过定点(0,-2)的直线系.如图,l1与x轴平行,l2与曲线y=x2-3x(x≤0)相切,易知直线l1的斜率k1=0,设直线l2的斜率为k2,联立方程,得⇒x2-3x-k2x+2=0,即x2-(3+k2)x+2=0,则Δ=(3+k2)2-4×2=0,∴k2=-2-3(2-3舍去),结合图象易知m的取值范围为[-3-2,0].8.[2019·武汉市高中毕业生二月调研测试]过圆O:x2+y2=4外一点P(2,1)作两条互相垂直的直线AB和CD分别交圆O于A,B和C,D点,则四边形ABCD面积的最大值为________.答案:解析:如图所示,S四边形ABCD=(PA·PD-PB·PC),取AB,CD的中点分别为E,F,连接OE,OF,OP,则S四边形ABCD=[(PE+AE)·(PF+DF)-(PE-AE)·(PF-DF)]=PE·DF+AE·PF,由题意知四边形OEPF为矩形,则OE=PF,OF=PE,结合柯西不等式有S四边形ABCD=OF·DF+AE·...