专题21坐标系与参数方程1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝，曲线C的参数方程为(1)写出直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．解：(1) ρsin(θ－)＝，∴ρ(sinθ－cosθ)＝，∴y－x＝，即x－y＋1＝0.故直线l的直角坐标方程是x－y＋1＝0.(2)方法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cosα，2sinα)，∴曲线C上的点到直线l的距离d＝＝≤，故最大距离是.方法二：曲线C是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线l的距离为，∴最大距离为＋2＝.2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)．(1)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．解：(1)圆C的参数方程为(α为参数)，所以其普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4，所以圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcosθ＋8ρsinθ＋21＝0.(2)点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝，故△ABM的面积S＝×|AB|×d＝|2cosα－2sinα＋9|＝|2sin(－α)＋9|，所以△ABM面积的最大值为9＋2.3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)将直线l的参数方程化为极坐标方程；(2)求直线l和曲线C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1)将直线l：(t为参数)消去参数t，化为普通方程x－y－2＝0，将代入x－y－2＝0，得ρcosθ－ρsinθ－2＝0.4．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ－4sinθ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；(2)若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3，求直线l的斜率．解：(1) ρ＝2cosθ－4sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ－4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x－4y，即(x－1)2＋(y＋2)2＝5. 直线l过点(1，－1)，且该点与圆心间的距离为<，∴直线l与曲线C相交．(2)方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心(1，－2)，|AB|＝2≠3，则直线l的斜率必存在，设其方程为y＋1＝k(x－1)，即kx－y－k－1＝0，圆心(1，－2)到直线l的距离d＝＝＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1.方法二：将代入(x－1)2＋(y＋2)2＝5，得(tcosα)2＋(1＋tsinα)2＝5，整理得t2＋2sinα·t－4＝0.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2sinα，t1t2＝－4，则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝3， α为直线l的倾斜角，∴sinα＝(舍去负值)，则α＝或，∴直线l的斜率为±1.5．已知点P的直角坐标是(x，y)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．(1)用x，y，θ0表示m，n；(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．解：(1)由题意知和即所以(2)由题意知所以(x－y)(x＋y)＝1，整理得－＝1.6．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M的直角坐标为(－1，0)，曲线C的极坐标方程为ρ＝.(1)求点M的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C的直角坐标方程；(2)过点M的直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，若MA＝2MB，求直线l的参数方程．解：(1)点M的极坐标为(1，π)．由ρ＝，得ρ(1－cos2θ)＝8cosθ，即ρ·2sin2θ＝8cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，即y2＝4x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.7.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝.(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．解：(1)由ρ2＝，得ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2，所以＋y2＝1；ρ＝，即ρcosθ＋ρsinθ＝4，所以x＋y＝4.所以曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)设Q(cosθ，sinθ)，则点Q到直线l的距离d＝＝≥＝.当且仅当θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，...
