第2讲导数的简单应用与定积分(B)(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号导数的几何意义3,4,7导数与函数的单调性1,5,6,8,10导数与函数的极值、最值9,11,12定积分和微积分基本定理2一、选择题1.(2018·河北武邑中学高三期中)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f(1)=0,当x>0时,xf′(x)<2f(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(C)(A)(-∞,-1)∪(0,1)(B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)(-1,0)∪(0,1)(D)(-1,0)∪(1,+∞)解析:根据题意,设g(x)=,当x>0时,g′(x)=<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(x)为偶函数,所以g(x)为偶函数,又f(1)=0,所以g(1)=0,故g(x)在(-1,0)∪(0,1)的函数值大于零,即f(x)在(-1,0)∪(0,1)的函数值大于零,故选C.2.(2018·福建三明高三期末)定义min{a,b}=设f(x)=min{x3,},则由函数f(x)的图象与x轴、直线x=4所围成的封闭图形的面积为(B)(A)+2ln2(B)+2ln2(C)+ln2(D)+ln2解析:由x3=,得x=±1,则图象的交点为(-1,-1),(1,1),因为f(x)=min{x3,},所以根据对称性可得函数f(x)的图象与x轴、直线x=4所围成的封闭图形的面积为x3dx+dx=x4︱+lnx︱=+ln4=+2ln2.故选B.3.(2018·西南名校联盟4月适应考)设过曲线f(x)=ex+x+2a(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,若总存在过曲线g(x)=(1-2x)-2sinx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为(C)(A)[-1,1](B)[-2,2](C)[-1,2](D)[-2,1]解析:设y=f(x)上的切点为(x1,y1),y=g(x)上的切点为(x2,y2),f′(x)=ex+1,g′(x)=-a-2cosx,由题意,对任意x1∈R存在x2,使得(+1)(-a-2cosx2)=-1,所以2cosx2=-a对任意x1∈R均有解x2,故-2≤-a≤2对任意x1∈R恒成立,则a-2≤≤a+2对任意x1∈R恒成立,又∈(0,1),所以a-2≤0且2+a≥1,所以-1≤a≤2.故选C.4.(2018·广东东莞二次综合考试)已知函数f(x)=若不等式f(x)≥mx恒成立,则实数m的取值范围为(C)(A)[-3-2,-3+2](B)[-3+2,0](C)[-3-2,0](D)(-∞,-3-2]∪[-3+2,+∞)解析:显然,当m>0时,不等式f(x)≥mx不恒成立,设过原点的直线与函数f(x)=x2-3x+2(x<1)的图象相切于点(x0,-3x0+2),因为f′(x0)=2x0-3,所以该切线方程为y-(-3x0+2)=(2x0-3)(x-x0),因为该切线过原点,所以-(-3x0+2)=-x0(2x0-3),解得x0=-,即该切线的斜率k=-2-3,由图象,得-2-3≤m≤0.故选C.5.(2018·河北石家庄二中八月模拟)对任意的实数x,都存在两个不同的实数y,使得ex(y-x)-ae2y-x=0成立,则实数a的取值范围为(A)(A)(0,)(B)(-∞,)(C)(,+∞)(D)(,1)解析:由ex(y-x)-ae2y-x=0,得a=-(x-y)·e2(x-y),设t=2(x-y),则a=-t·et,设g(t)=-t·et,则g′(t)=-(t+1)et,易知g(t)在(-∞,-1)内单调递增,在(-1,+∞)内单调递减,且g(-1)=,t→-∞时,g(t)→0;t→+∞时,g(t)→-∞.故当a∈(0,)时,关于t的方程a=-tet有两个不同实数根,即x-y为两个不同的值,满足题意.故选A.6.(2018·吉林省百校联盟九月联考)已知当x∈(1,+∞)时,关于x的方程=-1有唯一实数解,则距离k最近的整数为(B)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:依题意xlnx+x-kx+k=0(*)有唯一实数解,设g(x)=xlnx+x-kx+k,则g′(x)=lnx-(k-2),①当k≤2时,在x∈(1,+∞)上,g′(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=1>0,(*)无解,②当k>2时,g(x)在(1,ek-2)上单调递减,在(ek-2,+∞)上单调递增,又g(1)=1>0,且g(ek)=ek+k>0,所以即ek-2-k=0(k>2),设h(k)=ek-2-k,则h′(k)=ek-2-1>0,所以h(k)单调递增,又h(3)=e-3<0,h()=->0,所以3-1,若存在唯一的整数...
