第四节一次函数和二次函数题号12345答案1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－，所以－＝1，即m＝－2.故选A.答案：A2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2解析：f(x)＝－(x－2)2＋4＋a.由x∈[0，1]可知当x＝0时，f(x)取得最小值－2，得a＝－2，所以f(x)＝－(x－2)2＋2，当x＝1时，f(x)取得最大值1.答案：C3．(2013·宁夏银川一中月考)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为()A．－1B．1C．－2D．2解析：f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋(2－a)x＋5－a是偶函数，则对称轴为y轴，所以2－a＝0，得a＝2.故选D.答案：D4．函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[0，m](m＞0)的最大值为－3，最小值为－4，则实数m的取值范围是()A．(0，1]B．[1，2]C．[2，＋∞)D．(0，2]解析：二次函数的对称轴为x＝1，结合图象可知，满足题设条件的m∈[1，2]．故选B.答案：B5．(2014·杭州模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不可能是()解析：由A，B，C，D四个选项知，图象与x轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x1，x2，若只有一个交点，则x1＝x2，由于a＝c，所以x1x2＝＝1，比较四个选项，可知选项D的x1＜－1，x2＜－1，所以D不满足．答案：D6．不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为________．解析：∵∴∴f(x)＝－x2－x＋2.故f(x)图象的对称轴为x＝－，且开口向下，故f(x)在[1，2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝－4.答案：－47．如果函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋b(x∈[a，b])的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的最小值为________．解析：由已知得解得所以f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，x∈[－4，6]．故f(x)min＝f(1)＝5.答案：58．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．解析：由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)min＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.答案：－1或39．已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1，2]时，f(x)的最小值是1，且f(x)＋g(x)是奇函数，求f(x)的表达式．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x)＋g(x)＝(a－1)x2＋bx＋c－3是奇函数，∴⇒∴f(x)＝x2＋bx＋3＝＋3－b2.①当－1≤－≤2即－4≤b≤2时，最小值为3－b2＝1b⇒＝±2，∴b＝－2.∴f(x)＝x2－2x＋3.②当－>2，即b<－4时，f(2)＝1，无解．③当－<－1，即b>2时，f(－1)＝1b⇒＝3，∴f(x)＝x2＋3x＋3.综上所述，f(x)＝x2－2x＋3或f(x)＝x2＋3x＋3.10．(2014·武汉模拟)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.即2ax＋a＋b＝2x，所以所以所以f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意得x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝，所以g(x)在[－1，1]上递减．故只需g(1)＞0，即12－3×1＋1－m＞0，解得m＜－1.所以m的取值范围是(－∞，－1)．11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解析：(1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)中，令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.由实际意义和题设条件知，x>0，k>0.∴x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka－(1＋k2)a2＝3.2成立，即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根．由Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0得a≤6.此时，k＝>0(不考虑另一根)，∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
