第8讲曲线与方程1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对解析：选C.(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔故或2．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析：选A.设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线．3．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2xB．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2xD．(x－1)2＋y2＝2解析：选D.如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又因为|PA|＝1，所以|PM|＝＝，即|PM|2＝2，所以(x－1)2＋y2＝2.4．(2016·珠海模拟)已知点A(1，0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA＝AP，则点P的轨迹方程为()A．y＝－2xB．y＝2xC．y＝2x－8D．y＝2x＋4解析：选B.设P(x，y)，R(x1，y1)，由RA＝AP知，点A是线段RP的中点，所以即因为点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，所以y1＝2x1－4，所以－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.5．设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a＝(mx，y＋1)，向量b＝(x，y－1)，a⊥b，则动点1M(x，y)的轨迹为()A．两条直线B．圆或椭圆C．双曲线D．两条直线或圆或椭圆或双曲线解析：选D.因为a⊥b，a＝(mx，y＋1)，b＝(x，y－1)，所以a·b＝mx2＋y2－1＝0即mx2＋y2＝1.当m＝0时，动点M的轨迹为两条直线，y＝±1，当m＝1时，动点M的轨迹为圆x2＋y2＝1，当m>0且m≠1时，动点M的轨迹为椭圆＋y2＝1，当m<0时，动点M的轨迹为双曲线y2－＝1.6．(2016·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝1解析：选D.因为M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，所以|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹为椭圆．所以a＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝，所以椭圆的方程为＋＝1.7．已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)，因为△MPN为直角三角形，所以|MP|2＋|NP|2＝|MN|2，所以(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4.因为M，N，P不共线，所以x≠±2，所以轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)．答案：x2＋y2＝4(x≠±2)8．已知点P是圆C：(x＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2，0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q(x，y)的轨迹方程是________．解析：依题意有|QP|＝|QF|，则||QC|－|QF||＝|CP|＝2，又|CF|＝4>2，故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线，a＝1，c＝2，得b2＝3，所求轨迹方程为x2－＝1.答案：x2－＝19．已知P是椭圆＋＝1(a>b>0)上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ＝PF1＋PF2，则动点Q的轨迹方程是________．2解析：OQ＝PF1＋PF2，如图，PF1＋PF2＝PM＝2PO＝－2OP，设Q(x，y)，则OP＝－OQ＝－(x，y)＝，即P点坐标为，又P在椭圆上，则有＋＝1，即＋＝1.答案：＋＝110．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：设曲线C上任一点P(x，y)，由|PF1|·|PF2|＝a2，可得·＝a2(a>1)，将原点(0，0)代入等式不成立，故①不正确．因为点P(x，y)在曲线C上，则点P关于原点的对称点为P′(－x，－y)，将P′代入曲线C的方程等式成立，故②正确．设∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sinθ＝a2sinθ≤a2，故③正确．答案：②③11．已知点A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．解：因为|AB|＝＝5，所以AB边上高h＝＝4.故C的轨迹是与直线AB距离等于4的两条平行线．因为kAB＝，AB的方程为4x－3y＋4＝0，可设轨迹方程为4x－3y＋c＝0.由＝4，得c＝...
