专题13两招破解平面向量难题一．【学习目标】1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结二．【平面向量解题方法规律】1.用向量解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；【详解】依题，由图易知向量所成角为钝角，所以，所以当最小时，即为向量在向量方向上的投影最小，数形结合易知点P在点D时,最小（如图所示），在三角形ADE中，由等面积可知，所以，从而.所以.故选D.（二）向量中的最值问题例2．设是半径为2的圆上的两个动点，点为中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】将两个向量，都转化为两个方向上，然后利用数量积的公式和三角函数的值域，求得题目所求数量积的取值范围.练习1．已知是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量满足，则对于任意的最小值为________.【答案】【解析】当且仅当，时，取得最小值此时，取得最小值练习2．在边长为1的正△ABC中，=x，=y，x＞0，y＞0且x+y=1，则•的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，由此能求出当时，的最大值为．（三）投影问题例3．已知||=1，||=2，∠AOB=60°，=+，λ+2μ=2，则在上的投影（）A．既有最大值，又有最小值B．有最大值，没有最小值C．有最小值，没有最大值D．既无最大值，双无最小值【答案】B【解析】根据题意得：在上的投影为①代入①得令得，代入得当时，原式有最大值，当时，①式无最小值故选：．练习1．已知||=1，||=2，∠AOB=60°，=+，λ+2μ=2，则在上的投影（）A．既有最大值，又有最小值B．有最大值，没有最小值C．有最小值，没有最大值D．既无最大值，双无最小值【答案】B【解析】运用向量投影的知识和减元可解决．（四）向量的几何意义例4．是所在平面内一点，，则是点在内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【答案】B【解析】若，点在内部，则，反之不成立，例如时，点为边的中点，是点在内部，（不含边界）的必要不充分条件，故选B.练习2．如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，，则的最小值是.【答案】考点：1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义.方法点睛：由向量减法法则可知，代入已知条件得到，再把已知条件，代入得到，根据三点共线得，利用均值不等式得到，而，从而求得的最小值是.练习3．在四面体中，点，分别为，的中点，若，且，，三点共线，则A．B．C．D．【答案】B【分析】由已知可得，又，对应项系数相等，得到结果.（七）坐标法解决向量问题例7．如图，在矩形中，，，点为的中点，如果，那么的值是__________．【答案】9【解析】建立如图所示的直角坐标系，则,∴,∴.练习2．如图，为△的外心，为钝角，是边的中点，的值（）A．4B.．6C．7D．5【答案】D练习3．是平面上的一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（）A．重心B．垂心C．外心D．内心【答案】B【解析】解出，计算并化简可得出结论．【详解】λ（），∴，∴，即点P在BC边的高上，即点P的轨迹经过△ABC的垂心．故选：B．练习4．已知点O是锐角△ABC的外心，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，A=，且，则λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】D【解析】由题意画出图形，设的外接圆半径为，根据三角形外心的性质可得：，，由向量的线性运算和向量数量积的运算，求出和，在已知的等式两边同时与进行数量积运算，代入后由正弦定理化简，由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值．即函数h（x）在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，则，即4e-2＜a．∴实数a的取值范围是．故选：B．练习2．将向量列组成的系列称为向量列，并记向量列的前项和为，如果一个向量列从第二项起每一项与前一项的和都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等和向量列。已知向量列为等和向量列，若，则与向量一定是垂直的向量坐标是（）A．B．C．D．【答案...
