配餐作业(五十六)双曲线(时间：40分钟)一、选择题1．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析由题意，设双曲线C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为－x2＝－3，即－＝1。故选A。答案A2．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，)C．(0,3)D．(0，)解析由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A.B.C．2D．5解析不妨设点P位于第一象限，F1为左焦点，|PF2|＝m－d，|PF1|＝m，|F1F2|＝m＋d，其中m>d>0，则有(m－d)2＋m2＝(m＋d)2，解得m＝4d，故双曲线的离心率e＝＝5。故选D。答案D5．(2016·石家庄二模)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为()A.B．1C．2D．4解析由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，则OA⊥OB，AB的中点为，又因为AB的中点在双曲线上，所以2－2＝2，化简得x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝2，故选C。答案C6．(2016·茂名二模)已知双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y＝(x＋c)与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为()A.B.C．2D.＋1解析 直线y＝(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°。∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M。∴|MF1|＝|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|·sin60°＝c，由双曲线的定义有：|MF2|－|MF1|＝c－c＝2a，∴离心率e＝＝＝＋1，故选D。答案D二、填空题7．若双曲线－＝1的离心率为，则m＝________。解析由a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，所以e＝＝，即m＝1。答案18．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)。则此双曲线的方程为________。解析由题意，c＝＝5，∴a2＋b2＝c2＝25。①又双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝。②则由①②解得a＝3，b＝4，∴双曲线方程为－＝1。答案－＝19．(2016·浙江高考)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2。若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________。解析由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|＋|PF2|有最小值2。因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)。答案(2，8)10．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)。若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________。解析如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2，设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝。由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而2c＝|MN|＝2，所以双曲线的离心率e＝＝2。答案2三、解答题11．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)。(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F1MF2的面积。解析(1) 离心率e＝，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－)在双曲线上，可得λ＝42－(－)2＝6，∴双曲线的方程为x2－y2＝6。(2)证明： 点M(3，m)在双曲线上，∴32－m2＝6，∴m2＝3，又双曲线x2－y2＝6的焦点...
