(四)数列1．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3等于()A．16B．8C．4D．2答案C解析设等比数列{an}的公比为q，由a5＝3a3＋4a1得q4＝3q2＋4，得q2＝4，因为数列{an}的各项均为正数，所以q＝2，又a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.2．记Sn为等差数列{an}的前n项和，公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列，则S8等于()A．－20B．－18C．－10D．－8答案D解析等差数列{an}的公差d＝2，a1，a3，a4成等比数列，可得a＝a1a4，即为(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，则S8＝8×(－8)＋×8×7×2＝－8.3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a56等于()A．－B．0C.D.答案A解析因为an＋1＝(n∈N*)，所以a1＝0，a2＝－，a3＝，a4＝0，a5＝－，a6＝，…，故此数列的周期为3.所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－.4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝2－2·(－1)n，n∈N*，则S2019的值为()A．2018×1011－1B．1010×2019C．2019×1011－1D．1010×2018答案C解析由递推公式，可得当n为奇数时，an＋2－an＝4，数列{an}的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，当n为偶数时，an＋2－an＝0，数列{an}的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列，S2019＝(a1＋a3＋…＋a2019)＋(a2＋a4＋…＋a2018)＝1010＋×1010×1009×4＋1009×2＝2019×1011－1.故选C.5．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，则数列{an}的前2019项和S2019等于()1A.B.C.D.答案A解析两边取倒数，可得＝＋2(2n＋1)，即－＝2(2n＋1)，累加可得－＝2n2－2， ＝，∴＝2n2－，∴an＝(n≥2)，验证a1＝也满足上式，∴可得an＝＝，可得S2019＝＝.6．已知数列{an}是正项数列，则“a＋a≥2a”是“{an}为等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析举反例：取数列{an}为1,2,3，此时满足12＋32>2×22，但不能得到{an}为等比数列，充分性不成立．反之，成立，设数列{an}的公比为q， an>0，∴数列{a}是首项为a，公比为q2的等比数列，则由1＋q4≥2q2，得a＋a≥2a，必要性成立；综上，故选B.7．把正整数数列1,2,3,4，…中所有的i2＋1(i∈N*)项删除得到一个新数列{an}，则a2019等于()A．2019B．2063C．2064D．2071答案C解析由题意得，删除的第45个正整数为452＋1＝2026，则2027＝a2027－45＝a1982，删除的第46个正整数为462＋1＝2117，则2118＝a2118－46＝a2072，所以a2019前共删除了45个正整数，则a2019＝2019＋45＝2064，故选C.8．已知等差数列{an}满足a3＝3，a4＋a5＝a8＋1，数列{bn}满足bnan＋1an＝an＋1－an，记数列{bn}的前n项和为Sn，若对于任意的a∈[－2,2]，n∈N*，不等式Sn<2t2＋at－3恒成立，则实数t的取值范围为()A．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B．(－∞，－2]∪[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D．[－2,2]答案A解析由题意得a4＋a5＝a8＋a1＝a8＋1，则a1＝1，等差数列{an}的公差d＝＝1，∴an＝1＋(n－1)＝n.2由bnan＋1an＝an＋1－an，得bn＝－＝－，∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝1－，则不等式Sn<2t2＋at－3恒成立等价于1－<2t2＋at－3恒成立，而1－<1，∴问题等价于对任意的a∈[－2,2]，n∈N*，2t2＋at－4≥0恒成立．设f(a)＝2t2＋at－4，a∈[－2,2]，则即解得t≥2或t≤－2.9．已知数列{an}的通项公式为an＝2n(n∈N*)，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1，记它们的公共项由小到大排成的数列为{cn}，令xn＝，则的取值范围为()A．[1,2)B．(1，e)C.D.答案C解析由题意知，{an}，{bn}的共同项为2,8,32,128，…，故cn＝22n－1.由xn＝，得＝1＋，＝….令Fn＝，则当n≥2时，＝>1，故数列{Fn}是递增数列， F1＝，∴≥. 当x>0时，ln(1＋x)10的n的最小值为()A．59B．58C．57D．60答案B3解析由题意可得当k＝1时，20－1
