(五)坐标系与参数方程1．已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程，并说明方程表示什么轨迹；(2)若直线l的极坐标方程为sinθ－cosθ＝，求直线l被曲线C截得的弦长．解(1)因为曲线C的参数方程为(α为参数)，所以曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①曲线C表示以C(3,1)为圆心，为半径的圆．将代入①并化简，得ρ＝6cosθ＋2sinθ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ＋2sinθ.(2)因为直线l的直角坐标方程为y－x＝1，所以圆心C到直线y＝x＋1的距离d＝，所以直线被曲线C截得的弦长为2＝.2．(2017·河南郑州一中模拟)已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．解(1)ρ＝2cos＝2(cosθ＋sinθ)，即ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)易知C1的普通方程为x＋y＋2＝0.由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线C1的距离d＝＝，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l与椭圆C的极坐标方程分别为cosθ＋2sinθ＝0和ρ2＝.(1)求直线l与椭圆C的直角坐标方程；(2)若Q是椭圆C上的动点，求点Q到直线l距离的最大值．解(1)由cosθ＋2sinθ＝0⇒ρcosθ＋2ρsinθ＝0⇒x＋2y＝0，即直线l的直角坐标方程为x＋2y＝0.由ρ2＝⇒ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4⇒x2＋4y2＝4⇒＋y2＝1，即椭圆C的直角坐标方程为＋y2＝1.(2)因为椭圆C：＋y2＝1的参数方程为(α为参数)，可设Q(2cosα，sinα)．因此点Q到直线l：x＋2y＝0的距离d＝＝，所以当α＝kπ＋，k∈Z时，d取得最大值.故点Q到直线l距离的最大值为.4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ－2cosθ.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．解(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0.因为ρ2＝4ρsinθ－2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4y＋2x＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝5.(2)易知P(0,3)，将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，得t2＋2t－3＝0，所以t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝3.5．在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为(φ1是参数)，圆C2的参数方程为(φ是参数)，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C1，圆C2的极坐标方程；(2)射线θ＝α(0≤α<2π)同时与圆C1交于O，M两点，与圆C2交于O，N两点，求|OM|＋|ON|的最大值．解(1)圆C1：(x－)2＋y2＝3，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，故圆C1：ρ＝2cosθ，圆C2：ρ＝2sinθ.(2)当θ＝α时，M的极坐标为(2cosα，α)，N的极坐标为(2sinα，α)，所以|OM|＋|ON|＝2cosα＋2sinα，所以|OM|＋|ON|＝4sin.因为≤α＋<，所以当α＋＝，即α＝时，|OM|＋|ON|取得最大值4.
