限时规范训练三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时________分值81分，实际得分________一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．若＝，则sinαcosα＝()A．－B．－C．－D.解析：选B.解法一：由＝，得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，即tanα＝－3.又sinαcosα＝＝＝－，故选B.解法二：由题意得＝，即4＋8sinαcosα＝1－2sinαcosα∴10sinαcosα＝－3即sinαcosα＝－，故选B.2．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin＝()A．－B．－C.D.解析：选B.∵a⊥b，∴a·b＝4sin＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin－＝0，∴sin＝.∴sin＝－sin＝－.3．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tanA·tanB＝()A．4B.C．－4D．－解析：选B.由条件得3×＋5×＝4，即3cos(A－B)＋5cosC＝0，所以3cos(A－B)－5cos(A＋B)＝0，所以3cosAcosB＋3sinAsinB－5cosAcosB＋5sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanA·tanB＝＝.4．已知sin＝，则cos的值是()A.B.C．－D．－解析：选D.cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝2×－1＝－.5．已知在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于()A.B.C.D.解析：选B.由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，故tanB＝2sinA＝2sin＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.6．已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋c＝b，若a＝1，c－2b＝1，则角B为()A.B.C.D.解析：选B.因为acosC＋c＝b，所以sinAcosC＋·sinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinC＝cosAsinC，因为sinC≠0，所以cosA＝，因为A为△ABC的内角，所以A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，知1＝b2＋c2－bc，联立解得c＝，b＝1，由＝，得sinB＝＝＝，∵b＜c，∴B＜C，则B＝，故选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，a＝3，B＝，则b＝________.解析：由题意可得S＝acsinB，解得c＝1，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋1－3＝7，故b＝.答案：8．已知tan(3π－x)＝2，则＝________.解析：∵tan(3π－x)＝tan(π－x)＝－tanx＝2，故tanx＝－2.所以＝＝＝－3.答案：－39．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sinα＋cosα的值为________．解析：由＜β＜α＜知π＜α＋β＜，⇒⇒0＜α－β＜.根据已知得sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－，所以(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1－＝.因为＜α＜，所以sinα＋cosα＞0，所以sinα＋cosα＝.答案：三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)为奇函数，且f＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．(1)求a，θ的值；(2)若f＝－，α∈，求sin的值．解：(1)因为f(x)＝(a＋2cos2x)cos(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cos2x为偶函数，所以y2＝cos(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin2x·(a＋2cos2x)，由f＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.(2)由(1)得f(x)＝－sin4x，因为f＝－sinα＝－，即sinα＝，又α∈，从而cosα＝－，所以sin＝sinαcos＋cosαsin＝×＋×＝.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝b，sinB＝sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos的值．解：(1)在△ABC中，由＝，及sinB＝sinC，可得b＝c.由a－c＝b，得a＝2c.所以cosA＝＝＝.(2)在△ABC中，由cosA＝，可得sinA＝.于是cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinA·cosA＝.所以cos＝cos2A·cos＋sin2A·sin＝.12．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1,CD＝3，cosB＝.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2，求AB的长．解：(1)因为∠D＝2∠B，cosB＝，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－.因为D∈(0，π)，所以sinD＝＝.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2.因为BC＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.
