高二数学第3周第4次小题单（导数的应用）-人教版高二全册数学试题VIP免费

重庆市永川中学高二数学第3周第4次小题单（导数的应用）题文：1.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如右图，则导函数'()fx的图象可能是（）答案：C2.已知函数2()21lnfxxxax有两个极值点12,xx，且12xx，则（）A．212ln2()4fxB．212ln2()4fxC．212ln2()4fxD．212ln2()4fx答案：D解析：()fx的定义域为0,，求导得2'22()xxafxx，因为()fx有两个极值点12,xx，所以12,xx是方程2220xxa的两根，又12xx，且121xx，所以2112x又22222axx，所以2222222122lnfxxxxx，令22()122lngttttt112t，'212ln0gttt所以()gt在1,12上为增函数，所以112ln224gtg，所以2122()4lnfx3.已知函数32(,fxxbxcxdbcd均为常数)，当(0,1)x时取极大值，当(1,2)x时取极小值，则221()(3)2bc的取值范围是()A．37(,5)2B．5,5C．37(,25)4D．5,25答案：D1解析：因为232fxxbxc，依题意，得00,1230,24120,fcfbcfbc则点,bc所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中4.5,6A，3,0B，1.5,0D.22132Tbc表示点,bc到点1,32P的距离的平方，因为点P到直线AD的距离2212332521d，观察图形可知，22dTPA，又22214.563252PA，所以525T，故选.D4.已知函数mxxexfx12，若Rcba,,，且cba，使得0cfbfaf．则实数m的取值范围是__________．解析：由题意知函数xfy存在三个零点，等价于12xxeyx与函数my的图象有三个交点，令12xxexhx，xxexexxexhxxx22121，令0xh，当01xx或当01xx或时，函数xh单调递增，当10x，函数xh单调递减，因此当0x，10hxh极小值当1x时，ehxh31极大值，因此em3,1.25.已知函数f(x)＝x－11x，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是______．答案：a≥94解析：由于f′(x)＝1＋211x>0，因此函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－1.根据题意可知存在x∈[1,2]，使得g(x)＝x2－2ax＋4≤－1，即x2－2ax＋5≤0，即a≥2x＋52x能成立，令h(x)＝2x＋52x，则要使a≥h(x)在x∈[1,2]能成立，只需使a≥h(x)min，又函数h(x)＝2x＋52x在x∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h(x)min＝h(2)＝94，故只需a≥94.6.已知函数xaxxxfln1)(（其中a0，7.2e）.（Ⅰ）若函数)(xf在),1[上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当1a时，求函数)(xf在]2,21[上的最大值和最小值；（Ⅲ）当1a时，求证：对于任意大于1的正整数n，都有nn13121ln.答案：（Ⅰ）xaxxxfln1)(，).0(1)(2'aaxaxxf函数)(xf在),1[上为增函数，0)('xf对任意),1[x恒成立.01ax对任意),1[x恒成立，即xa1对任意),1[x恒成立.),1[x时，1)1(maxx，所求正实数a的取值范围是1a;（Ⅱ）当1a时，2'1)(xxxf，当)1,21[x时，0)('xf，故)(xf在)1,21[上单调递减；当]2,1(x时，0)('xf，故)(xf在]2,1(上单调递增；所以f(x)在]2,21[上有唯一的极小值点，也是最小值点，所以最小值为f(1)=0，又因为31113lnln161ln2,2ln2,22ln2022222effff，所3以最大值为1-ln2.（Ⅲ）当a=1时，211ln,'xxfxxfxxx，所以f(x)在,1上增函数，当n＞1时，令1nxn，则当x＞1时，f(x)＞f(1)=0，所以1ln011nnfnnn，即1ln1nnn，2131411ln,ln,ln,,ln1223341nnn，所以234111lnlnlnln12312...