第一讲三角函数的图象与性质限时规范训练一、选择题1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于点对称B．关于直线x＝对称C．关于点对称D．关于直线x＝对称解析：由函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π得ω＝2，由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝kπ－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，所以函数的图象关于点对称，故选A.答案：A2．为了得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，可以将函数g(x)＝cos2x的图象()A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度解析：因为f(x)＝sin2x＋cos2x＝sin＝sin2，所以把g(x)＝cos2x＝sin＝sin2的图象向右平移个单位长度可以得到f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，故选B.答案：B3．将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ＝()A.B.C.D.解析：将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝sin＝sin，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋＝kπ＋，k∈Z，又0＜φ≤，所以φ＝，选项A正确．答案：A4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝sinB．f(x)＝sinC．f(x)＝sinD．f(x)＝sin解析：由题图可知，函数f(x)的周期T＝4×＝π，所以ω＝2.又函数f(x)的图象经过点，所以sin＝1，则＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，即函数f(x)＝sin.答案：A5．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝()A.B.C.D.解析：依题意＝π，故T＝2π，故ω＝1；结合三角函数的图象可知，＋φ＝＋kπ，k∈Z，故φ＝＋kπ，k∈Z，因为0＜φ＜π，故φ＝，故选A.答案：A6．设函数f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]，若0＜a＜1，则方程f(x)＝a的所有根之和为()A.B．2πC.D．3π解析：f(x)＝2sin， x∈[0,2π]，∴f(x)∈[－2,2]，又0＜a＜1，∴方程f(x)＝a有两根x1，x2，由对称性得＝，∴x1＋x2＝，故选C.答案：C7．(2017·西安质检)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，且当x1，x2∈，x1≠x2时，f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝()A.B.C.D．1解析：由题意得，2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z， |φ|＜，∴φ＝，又x1，x2∈，∴2x1＋∈(0，π)，2x2＋∈(0，π)，∴＝，解得x1＋x2＝，∴f(x1＋x2)＝sin＝，故选C.答案：C8．已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x1＋2015)成立，则ω的最小正值为()A.B.C.D.解析：依题意得函数f(x)＝sin在x＝x1处取得最小值，在x＝x1＋2015处取得最大值，因此×＝2015，即ω＝π(k∈Z)，ω的最小正值为，故选B.答案：B二、填空题9．已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间为________．解析：由题意得T＝＝π，∴ω＝2，即f(x)＝2sin(2x－)，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．答案：(k∈Z)10．将函数f(x)＝cosx－sinx的图象向右平移θ个单位后得到的图象关于直线x＝对称，则θ的最小正值为________．解析：将函数f(x)＝2cos的图象向右平移θ个单位后得到f(x)＝2cos，其图象关于直线x＝对称，则－θ＝kπ，k∈Z，θ＝－kπ，k∈Z，当k＝0时，θ取得最小正值.答案：11．设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则ω、φ的值分别为________．解析： f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，∴f(x)的最小正周期为4＝3π，∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.答案：、12．函数f(x)＝的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于________．解析：因为f(x)＝＝|sin3x|，最小正周期T＝×＝，所以图象的相邻两条对称轴之间的距离等于T＝.答案：三、解答题13．设函数f(x)＝coscosx－sin2(π－x)－.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．解析：(1) f(x)＝sinxcosx－sin2x－＝(sin2x＋cos2x)－1＝sin－1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得k...
