第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题A级基础通关一、选择题1．(2019·武邑中学第二次调研)函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是()A．(0，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，－1]∪(0，1]D．[－1，0)∪(0，1]解析：f′(x)＝2x－＝(x>0)，令f′(x)≤0，即≤0，解得00的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．答案：D3．(2019·广东六校联考)已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－，则函数在x＝－1处的切线方程是()A．2x－y－1＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．x＋2y－2＝0解析：因为f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝－.所以当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝(x<0)．则f′(x)＝，则切线斜率k＝f′(－1)＝2.又切点坐标为(－1，－1)，所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即2x－y＋1＝0.答案：C4．(2019·深圳调研)已知f(x)＝alnx＋x2(a>0)，若对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>2恒成立，则a的取值范围为()A．(0，1]B．(1，＋∞)C．(0，1)D．[1，＋∞)解析：对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有>2恒成立，则当x>0时，f′(x)≥2恒成立，f′(x)＝＋x≥2在(0，＋∞)上恒成立，则a≥(2x－x2)max＝1.答案：D5．(2019·华南师大附中检测)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为()A．－3eB．－2eC．eD．2e解析：由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，因为f′(x)为偶函数，所以m＝0，故f(x)＝x3＋nx＋2，因为f(1)＝＋n＋2＝－，所以n＝－3.所以f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)，所以g(x)在[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增．故g(x)有唯一极小值g(1)＝－2e，则g(x)min＝－2e.答案：B二、填空题6．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y＝3(x2＋x)ex，所以y′＝3(x2＋3x＋1)ex.令x＝0，得切线的斜率为k＝y′|x＝0＝3.又切点坐标为(0，0)，所以切线方程为y＝3x.答案：y＝3x7．已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．解析：当x>0时，f(x)＝－1，f′(x)＝，所以当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以x＝1时，f(x)取到极小值e－1，即f(x)的最小值为e－1.又f(x)为奇函数，且x<0时，f(x)＝h(x)，所以h(x)的最大值为－(e－1)＝1－e.答案：1－e8.在平面直角坐标系内任取一个点P(x，y)满足则点P落在曲线y＝与直线x＝2，y＝2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为________．解析：由解得所以阴影部分的面积为2dx＝(2x－lnx)＝(2×2－ln2)－＝3－2ln2.因此所求概率为＝.答案：三、解答题9．(2018·天津卷节选)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d＝3，求f(x)的极值．解：(1)由题设，f(x)＝x(x－1)·(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1，因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，即x＋y＝0.故所求切线方程为x＋y＝0.(2)由已知得f(x)＝(x－t2＋3)(x－t2)(x－t2－3)＝(x－t2)3－9(x－t2)＝x3－3t2x2＋(3t－9)x－t＋9t2.故f′(x)＝3x2－6t2x＋3t－9.令f′(x)＝0，解得x＝t2－或x＝t2＋.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，t2－)t2－(t2－，t2＋)t2＋(t2＋，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)的极大值为f(t2－)＝(－)3－9×(－)＝6；函数f(x)的极小值为f(t2＋)＝()3－9×＝－6.10．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)lnx－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋lnx－1＝lnx－.因为y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调...
