第5讲利用导数研究不等式恒成立及相关问题导数的综合应用训练提示:在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时,常常需要求出其中参数的取值范围,这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.1.(2015云南省第一次统一检测)已知函数f(x)=ln(1+2x)-.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a>0,b>0,求证ln2a-lnb≥1-.(1)解:由2x+1>0得x>-.所以f(x)的定义域为（-,+∞）.因为f(x)=ln(1+2x)-,所以f′(x)=-=.由f′(x)>0得x>-,由f′(x)<0得x<-.所以f(x)的单调递增区间为[-,+∞),f(x)的单调递减区间为(-,-].(2)证明:由(1)知,当x=-时,f(x)取得最小值.所以f(x)的最小值为f(-)=-ln2.所以当x>-时,f(x)≥f(-),即f(x)≥-ln2.因为a>0,b>0,所以=->-.设x=,则f()≥-ln2,化简得ln2a-lnb≥1-.所以当a>0,b>0时,ln2a-lnb≥1-.2.(2015山东济宁市一模)已知函数f(x)=ex-ax-a(其中a∈R,e是自然对数的底数,e=2.71828…).(1)当a=e时,求函数f(x)的极值;(2)当0≤a≤1时,求证f(x)≥0;(3)求证:对任意正整数n,都有(1+)(1+)…(1+)
1时,f′(x)>0;所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=1处取得极小值f(1)=-e,函数f(x)无极大值;(2)解:由f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a①当a=0时,f(x)=ex≥0恒成立,满足条件,②当00,所以函数f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=lna处取得极小值即为最小值,f(x)min=f(lna)=elna-alna-a=-alna.因为0
