2018版高考数学一轮总复习第7章立体几何7.7立体几何中的向量方法模拟演练理[A级基础达标](时间：40分钟)1．若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案C解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．2．[2017·宜宾模拟]已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相平行，则k的值是()A．－2B.C.D.答案A解析由题意得，ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)．所以＝＝，解得k＝－2.3．[2017·金华模拟]在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)，已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．1答案B解析由已知平面OAB的一条斜线的方向向量OP＝(－1，3,2)，所以点P到平面OAB的距离d＝|OP|·|cos〈OP，n〉|＝＝＝2.4．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案C解析以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0，0,0)，B(1，0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，0,0，E，，0，F，∴PA＝(0,0，－2)，DE＝，DF＝.设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，则n＝(2,0,1)，设PA与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝＝，∴PA与平面DEF所成角的正弦值为.5．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝1，CB＝，侧棱AA1＝1，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，则平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为()A．－B．－C.D.答案A解析建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，B(，0,0)，A(0,1,0)，B1(，0,1)，D，CD＝，CB＝(，0,0)，BA＝(－，1,0)，BB1＝(0,0,1)．设平面CBD和平面B1BD的法向量分别为n1，n2，可得n1＝(0,1，－1)，n2＝(1，，0)，所以cos〈n1，n2〉＝＝，又平面B1BD与平面CBD所成的二面角的平面角与〈n1，n2〉互补，故平面B1BD与平面CBD所成的二面角的余弦值为－.6.如图，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，则AF与CE所成角的余弦值为________．答案解析 AE∶ED∶AD＝1∶1∶，∴AE⊥ED，即AE，DE，EF两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝EF＝CD＝2，则E(0,0,0)，A(1,0,0)，F(0,2,0)，C(0，2,1)，∴AF＝(－1,2,0)，EC＝(0,2,1)，∴cos〈AF，EC〉＝＝＝，∴AF与CE所成角的余弦值为.7.正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________．答案解析以C为原点建立坐标系，得下列坐标：A(2，0,0)，C1(0,0,2)．点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2.所以AC1＝(－2,0,2)，AC2＝，，2，设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝.又θ∈，所以θ＝.8．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为________．答案解析如图，建立空间直角坐标系Dxyz，设DA＝1，由已知条件得A(1,0,0)，E，F，AE＝，AF＝，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的锐二面角为θ，由图知θ为锐角，由得令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)，cosθ＝|cos〈n，m〉|＝，tanθ＝.9.如图，在直二面角E－AB－C中，四边形ABEF是矩形，AB＝2，AF＝2，△ABC是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点P是线段BF上的一点，PF＝3.(1)证明：FB⊥平面PAC；(2)求异面直线PC与AB所成的角的余弦值．解(1)证明：以A为原点，向量AB，AC，AF的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，F(0,0,2)． BF＝＝4，PF＝3，∴P，FB＝(2,0，－2)，AC＝(0,2,0)，AP＝. FB·AC＝0，∴FB⊥AC. FB·AP＝0，∴FB⊥AP. FB⊥AC，FB⊥AP，AC∩AP＝A，∴FB⊥平面APC.(2) AB＝(2,0,0)，PC＝，记AB与PC夹角为θ，则|cosθ|＝＝＝.10．如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD...
