大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＋a5＝a，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若数列{bn}满足b1＝a1且bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.【导学号：07804229】[解](1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{an}的首项为a1，公差为d，易知an＞0，则，解得，∴an＝2n＋1.法二：(等差数列的性质) {an}是等差数列且a1＋a5＝a，∴2a3＝a，又an＞0，∴a3＝7. S7＝＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1.(2) bn＋1－bn＝an＋1且an＝2n＋1，∴bn＋1－bn＝2n＋3，当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＝n(n＋2)，当n＝1时，b1＝3满足上式，故bn＝n(n＋2)．∴＝＝.∴Tn＝＋＋…＋＋＝＝＝－.18．如图1，已知直角梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为CD的中点，沿AE把△DAE折起到△PAE的位置(D折后变为P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线PB和平面PCE所成角的正弦值．[解](1)证明：如图(1)，取AE的中点O，连接PO，OB，BE.由于在平面图形中，如题图(图1)，连接BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)所以在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，所以PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝，因为PB＝2，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB，又AE∩OB＝O，所以PO⊥平面ABCE，因为PO⊂平面PAE，所以平面PAE⊥平面ABCE.(2)由(1)知，OB，OE，OP两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，)，B(，0,0)，E(0，，0)，C(，2，0)，PB＝(，0，－)，EP＝(0，－，)，EC＝(，，0)．图(2)设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．所以cos〈PB，n〉＝＝＝，所以直线PB和平面PCE所成角的正弦值为.19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐．为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位：M)的数据，其频率分布直方图如下：图3若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300M的概率；(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA20300B30500C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元，以此类推，如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．[解](1)记“从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D.依题意，P(D)＝(0.0008＋0.0022)×100＝0.3.从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B(3,0.3)，所以从该校教师中随机抽取3人，至多有1人手机月使用流量不超过300M的概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C×0.30×(1－0.3)3＋C×0.3×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.(2)依题意，从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500]的概率为(0.0025＋0.0035)×100＝0.6，L∈(500,700]的概率为(0.0008＋0.0002)×100＝0.1.当学校订购A套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X1元，则X1的所有可能取值为20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P(X1＝50)＝0.1，所以X1的分布列为X1203550P0.30.60.1所以E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．当学校订购B套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X2元，则X2的所有可能取值为30,45，且P(X2＝30...
