2018年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第14讲导数与函数的单调性实战演练理1．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(A)A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：令g(x)＝，则g′(x)＝，由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0，∴g(1)＝＝0，∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.又g(－x)＝＝＝＝g(x)(x≠0)，∴g(x)是偶函数；当x∈(－∞，－1)时，g(x)<0，从而f(x)>0；当x∈(－1,0)时，g(x)>0，从而f(x)<0.综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．2．(2015·福建卷)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是(C)A．fC．f0，∴g(x)在R上为增函数．∵k>1，∴>0，则g>g(0)．而g(0)＝f(0)＋1＝0，∴g＝f－＋1>0，即f>－1＝，所以选项C错误，故选C．3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(C)A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)解析：当a＝0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意．当a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当a>0时，>0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞，0)与上为增函数，在上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0>0，则f(0)<0，即1<0，不成立．当a<0时，<0，所以函数f(x)＝ax3－3x2＋1在和(0，＋∞)上为减函数，在上为增函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x0>0，则f>0，即a·－3·＋1>0，解得a>2或a<－2，又因为a<0，故a的取值范围为(－∞，－2)．故选C．4．(2016·四川卷)设函数f(x)＝ax2－a－lnx，其中a∈R.讨论f(x)的单调性．解析：由题意，f′(x)＝2ax－＝，x>0.①当a≤0时，2ax2－1≤0，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a>0时，f′(x)＝，当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增．12
