课堂达标(十四)导数与函数的单调性[A基础巩固练]1．(2018·九江模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是()A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)[解析]函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)·ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.[答案]D2．(高考课标全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)[解析]由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0＜＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．[答案]D3．(2017·浙江)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()[解析]原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D.[答案]D4．(2018·湖南省永州市三模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－1在区间[0,1]上单调递减，m＝a＋b，则m的取值范围是()A.B.C.D．[－3，＋∞)[解析]依题意，f′(x)＝3x2＋2ax＋b≤0，在[0,1]上恒成立．只需要即可，∴3＋2a＋2b≤0，∴m＝a＋b≤－.∴m的取值范围是(－∞，－]．[答案]A5．(2018·长治模拟)函数f(x)＝x2＋2mlnx(m<0)的单调递减区间为()1A．(0，＋∞)B．(0，)C．(，＋∞)D．(0，)∪(，＋∞)[解析]由条件知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为m<0，则f′(x)＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．[答案]B6．(2018·山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校)定义在(－∞，0)上的函数f(x)满足x2f′(x)＋1＞0，f(1)＝6，则不等式f(lgx)＜＋5的解集为()A．(，10)B．(0,10)C．(10，＋∞)D．(1,10)[解析]由x2f′(x)＋1＞0，得f′(x)＋＞0，设g(x)＝f(x)－－5，则g′(x)＝f′(x)＋，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0，故g(x)＜0的解集为(0,1)，即f(x)＜＋5的解集为(0,1)，由0＜lgx＜1解得1＜x＜10，则所求不等式的解集为(1,10)，故选D.[答案]D7．(2018·青岛模拟)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.[解析]f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜3是不等式3x2＋2bx＋c＜0的解集，∴－1,3是f′(x)＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，b＋c＝－12.[答案]－128．(2018·九江第一次统考)已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为______．[解析]f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，则2a≥－x＋在上恒成立，因为max＝，所以2a≥，即a≥.[答案]9．(2018·衡水中学模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)＜，则不等式f(x2)＜＋的解集为________.[解析]设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－， f′(x)＜，∴F′(x)＝f′(x)－＜0，即函数F(x)在R上单调递减， f(x2)＜＋，∴f(x2)－＜f(1)－，∴F(x2)＜F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，∴x2＞1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案](－∞，－1)∪(1，＋∞)10．已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，2由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[B能力提升练]1．(2018·湛江一模)若函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是()A．(－2,0)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－2)[解析]由题意知，f′(x)＝1－， 函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－＝0时，b＝x2，...
