第十一节轨迹方程的求法一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力．它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程．因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系)，侧重于数的运算，二是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用．(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤．①建系设点：建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点坐标M(x，y)；②列几何等式：写出适合条件的点的集合P＝{M|P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；③化为代数等式：用坐标代换几何等式，列出方程；④化简：把方程f(x，y)＝0化成最简形式；⑤证明：证明化简后的方程就是所求曲线的方程．除个别情况外，化简过程都是同解变形，所以步骤⑤可以省略不写．如有特殊情况，可适当加以说明，步骤②也可省略．(2)求曲线轨迹方程应注意的问题．①要注意一些隐含条件，若轨迹是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围，保证轨迹的纯粹性；②若轨迹有不同情况，应分别讨论，以保证它的完整性；③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的，求曲线的轨迹不仅要求出方程，而且要指明曲线的位置、类型．1．如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确．那么，以下正确的命题是(D)A．曲线C上的点的坐标都满足方程F(x，y)＝0B．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在C上1C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F(x，y)＝0分析：由曲线与方程的概念判定．解析：若方程为y＝|x|，曲线C为一、三象限角平分线，显然曲线C上的点的坐标不都满足方程，故A错误；同理可推出，坐标满足方程的点都不在曲线C上是错误的，故C错误；若方程为y＝x＋1，曲线C为一、三象限角平分线，显然满足方程的点都不在曲线C上，故B错误；因此只有D正确．2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是(C)A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：设动点P的坐标为(x，y)，则PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，由PA·PB＝x2，得y2＝x＋6，故选C.3．已知椭圆＋＝1的左、右两个焦点分别是F1，F2，P是这个椭圆上的一个动点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|F2P|，则Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16．解析：提示：用定义法求轨迹方程．4．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是(A)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆高考方向1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个方向.2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，有时会与向量交汇考查.考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法.3.题型大多数以解答题为主，属中高档题.1．曲线C是平面内与两个定点F1(－1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a＞1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.2其中，所有正确结论的序号是②③．解析：①曲线C经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，那么a＝1，与条件不符；②曲线C关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处|PF1||PF...
