第十一节轨迹方程的求法一、“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念在直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.二、求曲线的(轨迹)方程求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义、性质等基础知识的掌握外,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程.因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量关系),侧重于数的运算,二是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视图形几何性质的运用.(1)用直接法求曲线(轨迹)方程的基本步骤.①建系设点:建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点坐标M(x,y);②列几何等式:写出适合条件的点的集合P={M|P(M)},关键是根据条件列出适合条件的等式;③化为代数等式:用坐标代换几何等式,列出方程;④化简:把方程f(x,y)=0化成最简形式;⑤证明:证明化简后的方程就是所求曲线的方程.除个别情况外,化简过程都是同解变形,所以步骤⑤可以省略不写.如有特殊情况,可适当加以说明,步骤②也可省略.(2)求曲线轨迹方程应注意的问题.①要注意一些隐含条件,若轨迹是曲线的一部分,应对方程注明x的取值范围,或同时注明x,y的取值范围,保证轨迹的纯粹性;②若轨迹有不同情况,应分别讨论,以保证它的完整性;③曲线的轨迹和曲线方程是有区别的,求曲线的轨迹不仅要求出方程,而且要指明曲线的位置、类型.1.如果命题“坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确.那么,以下正确的命题是(D)A.曲线C上的点的坐标都满足方程F(x,y)=0B.坐标满足方程F(x,y)=0的点有些在C上,有些不在C上1C.坐标满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,并且其坐标满足方程F(x,y)=0分析:由曲线与方程的概念判定.解析:若方程为y=|x|,曲线C为一、三象限角平分线,显然曲线C上的点的坐标不都满足方程,故A错误;同理可推出,坐标满足方程的点都不在曲线C上是错误的,故C错误;若方程为y=x+1,曲线C为一、三象限角平分线,显然满足方程的点都不在曲线C上,故B错误;因此只有D正确.2.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足PA·PB=x2,则点P的轨迹是(C)A.圆B.椭圆C.抛物线D.双曲线解析:设动点P的坐标为(x,y),则PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y),由PA·PB=x2,得y2=x+6,故选C.3.已知椭圆+=1的左、右两个焦点分别是F1,F2,P是这个椭圆上的一个动点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|F2P|,则Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.解析:提示:用定义法求轨迹方程.4.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(A)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆高考方向1.求曲线的轨迹或轨迹方程是近几年高考命题的一个方向.2.常以圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体,有时会与向量交汇考查.考查定义法、相关点法、参数法等求轨迹的方法.3.题型大多数以解答题为主,属中高档题.1.曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹,给出下列三个结论:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于坐标原点对称;③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于a2.2其中,所有正确结论的序号是②③.解析:①曲线C经过原点,这点不难验证是错误的,如果经过原点,那么a=1,与条件不符;②曲线C关于原点对称,这点显然正确,如果在某点处|PF1||PF...