考点规范练28数列的概念与表示基础巩固1.数列1,,…的一个通项公式an=()A.B.C.D.2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于()A.B.C.D.303.(2017江西上饶模拟)已知数列{an}满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2=()A.4B.3C.2D.14.若数列{an}满足=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.405.已知数列{an}满足an+2=an+1-an,且a1=2,a2=3,Sn为数列{an}的前n项和,则S2016的值为()A.0B.2C.5D.66.已知数列{an}的前4项分别是,1,,则这个数列的一个通项公式是an=.7.已知数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=.8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2),则当an取得最大值时,n=.9.若数列{an}的通项为an=(-1)n(2n+1)·sin+1,前n项和为Sn,则S100=.10.已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an;(2)若Sn=3n+2n+1,求an.能力提升11.设数列{an}满足a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是()A.4B.4C.4D.4112.已知函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N*),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.13.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=.14.(2017山西晋中二模)我们可以利用数列{an}的递推公式an=(n∈N*),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则a64+a65=.15.设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a≠3),an+1=Sn+3n,n∈N*.(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;(2)若an+1≥an,求a的取值范围.高考预测16.已知数列{an}的通项公式是an=-n2+12n-32,其前n项和是Sn,则对任意的n>m(其中m,n∈N*),Sn-Sm的最大值是.答案：1.B2.D解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,∴=5×(5+1)=30.3.D解析:由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.4.B解析:∵数列为调和数列,2∴=xn+1-xn=d.∴{xn}是等差数列.又x1+x2+…+x20=200=,∴x1+x20=20.又x1+x20=x5+x16,∴x5+x16=20.5.A解析:∵an+2=an+1-an,a1=2,a2=3,∴a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3….∴数列{an}是周期为6的周期数列.又2016=6×336,∴S2016=336×(2+3+1-2-3-1)=0,故选A.6.解析:数列{an}的前4项可分别变形为,故an=.7.3n解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.8.5或6解析:由题意令∴解得∴n=5或n=6.9.200解析:当n为偶数时,sin=0,即an=(2n+1)sin+1=1(n为偶数).当n为奇数时,若n=4k+1,k∈Z,则sin=sin=1,即an=-2n;若n=4k+3,k∈Z,则sin=sin=-1,即an=2n+2.故a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此S100=×8=200.10.解:(1)因为Sn=(-1)n+1·n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n+1·[n+(n-1)]=(-1)n+1·(2n-1).又a1也适合于此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1).(2)当n=1时,a1=S1=6;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2.①由于a1不适合①式,所以an=11.D解析:由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5.令bn=nan,则数列{bn}是公差为5的等差数列,故bn=1+(n-1)×5=5n-4.所以b20=20a20=5×20-4=96,3所以a20==4.12.D解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N*),∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),两式相减,得2an=3an-1(n≥2).又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.∴an=.13.2n-1解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1∴an+1=2(an-1+1).又S1=2a1-1,∴a1=1.∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项,公比为2的等比数列,∴an+1=2·2n-1=2n,∴an=2n-1.14.66解析:由题得,这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,…故a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.15.解:(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,故{bn}的通项公式为bn=(a-3)2n-1.(2)由题意可知,a2>a1对任意的a都成立.由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2,故an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2.当n≥2时,由an+1≥an,可知12+a-3≥0,即a≥-9.又a≠3,故所求的a的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).16.10解析:由an=-n2+12n-32=-(n-4)·(n-8)>0得4
