配餐作业(四十九)立体几何的热点问题(时间：40分钟)1．(2017·东北三省模拟)已知等腰梯形ABCD如图①所示，其中AB∥CD，E，F分别为AB和CD的中点，且AB＝EF＝2，CD＝4，M为CE的中点，现将梯形ABCD沿EF所在直线折起，使平面EFCB⊥平面EFDA，如图②所示，N是CD的中点。(1)证明：MN∥平面EFDA；(2)求二面角M－NA－F的余弦值。解析(1)证明：连接ED，则MN∥ED，又MN⊄平面EFDA，ED⊂平面EFDA，所以MN∥平面EFDA。(2)由题意知平面EFDA⊥平面EFCB，平面EFDA∩平面EFCB＝EF，CF⊥EF，CF⊂平面EFCB，所以CF⊥平面EFDA。以F为坐标原点，FE为x轴，FD为y轴，FC为z轴，建立空间直角坐标系F—xyz。由题意得F(0,0,0)，E(2,0,0)，C(0,0,2)，D(0,2,0)，M(1,0,1)，N(0,1,1)，A(2,1,0)，得平面AMN的一个法向量为(1,1,2)，平面AFN的一个法向量为(1，－2,2)，设所求的二面角为θ，则|cosθ|＝，又所求二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为。答案(1)见解析(2)2．如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥底面AEFB，G是EF的中点，如图②。(1)求证：AG⊥平面BCE；(2)求二面角C－AE－F的余弦值。解析(1)证明：连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，所以BC⊥底面AEFB，又AG⊂底面AEFB，所以BC⊥AG，因为AB綊EG，AB＝AE，所以四边形ABGE为菱形，所以AG⊥BE，又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以AG⊥平面BCE。(2)解法一：由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，取CE的中点M，连接OM，所以OM∥BC，所以OM⊥平面AEFB，作MN⊥AE于N，连接ON，所以ON⊥AE，所以∠ONM为二面角C－AE－F的平面角。在Rt△AOE中，由AE·ON＝OE·OA得×4×ON＝×2×2，即ON＝，又OM＝BC＝2，所以MN＝＝，所以cos∠ONM＝＝，所以二面角C－AE－F的余弦值为。解法二：由(1)知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz，则O(0,0,0)，A(－2,0,0)，E(0，－2，0)，F(4,2，0)，C(0,2，4)，D(－2,0,4)，所以AC＝(2,2，4)，AE＝(2，－2，0)，设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)，则∴取y＝1，则x＝，z＝－，即平面ACE的一个法向量为n＝(，1，－)。显然m＝(0,0,1)是平面AEF的一个法向量。所以cos〈n，m〉＝－结合图象可知，二面角C—AE—F的余弦值为。答案(1)见解析(2)3．(2016·湖北模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，E为AB的中点。(1)求证：AN∥平面MEC；(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角P－EC－D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由。解析证明：(1)如图，连接NB交MC于点F，连接EF。由已知可得四边形BCNM是平行四边形，∴F是BN的中点，又E是AB的中点，∴AN∥EF。又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，∴AN∥平面MEC。(2)假设线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为。在AM上取一点P，连接EP，CP。由于四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，E是AB的中点，可得DE⊥AB。又四边形ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∴DN⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0,0,0)，E(，0,0)，C(0,2,0)，P(，－1，h)，则CE＝(，－2,0)，EP＝(0，－1，h)，设平面PEC的法向量为n1＝(x，y，z)，则，∴，令y＝h，则n1＝(2h，h，)，又平面DEC的法向量n2＝(0,0,1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，解得h＝，∴在线段AM上存在点P，使二面角P－EC－D的大小为，此时h＝。答案(1)见解析(2)存在，h＝4．(2017·郑州一中模拟)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，且DC＝EB＝1，AB＝4。(1)证明：平面ADE⊥平面ACD；(2)当三棱锥C－ADE体积最大时，求二面角D－AE－B的平面角的余弦值。解析(1)证明：如图，连接BC，因为AB是半圆O的直径，所以BC⊥AC，因为CD⊥平面ABC，所以CD⊥BC，因为CD∩AC＝C，所以BC⊥平面ACD。因为CD∥BE，CD＝BE，所以四边形BCDE是平行四边形，所以BC∥DE，所以DE⊥平面ACD。又DE⊂平面ADE，所以平面ADE...
