第3节直线与圆、圆与圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线和圆的位置关系1,11圆的切线3,8,15弦长问题2,9,15圆与圆的位置关系4,6,12综合应用5,7,9,10,12,13,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.已知直线y=x+m与圆x2+y2=2相离,则m的取值范围为(C)(A)(-∞,-)∪(,+∞)(B)(-,)(C)(-∞,-2)∪(2,+∞)(D)(-2,2)解析:圆心O(0,0)到直线的距离d=>,即|m|>2,解得m<-2或m>2.2.直线x=1被圆(x-a)2+y2=4所截得弦长为2,则a等于(B)(A)0或-2(B)0或2(C)-2或2(D)0解析:圆心为C(a,0),半径r=2.圆心到直线的距离d=|a-1|.由已知得2=2,即2=2,整理得|a-1|=1,解得a=0或a=2.3.已知点P(2,3),圆C:(x+1)2+(y+1)2=4,则从点P向圆C所引的切线长为(C)(A)3(B)1(C)(D)2解析:圆C的圆心C(-1,-1),半径r=2.|PC|==5.所以切线长l===.4.若圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2-2ax+a2-1=0内切,则a等于(C)(A)1(B)1或0(C)1或-1(D)-1或0解析:圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2.圆C2的方程化为(x-a)2+y2=1,其圆心为C2(a,0),半径r2=1.由已知|C1C2|=|r1-r2|,即=|1-2|,即|a|=1,解得a=±1.5.(2015甘肃张掖4月模拟)直线y-1=k(x-3)被圆(x-2)2+(y-2)2=4所截得的最短弦长等于(C)(A)(B)2(C)2(D)解析:圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4,圆心C(2,2),半径为2.直线y-1=k(x-3),所以此直线恒过定点(3,1),当圆被直线截得的弦最短时,圆心C(2,2)与定点P(3,1)的连线垂直于弦,弦心距为=.所以所截得的最短弦长为2=2.6.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2=4的公共弦所在直线的方程为.解析:两圆方程两边分别相减,得6x-4=0,即3x-2=0.所以公共弦所在直线方程为3x-2=0.答案:3x-2=07.经过点A(2,-1)和直线x+y-1=0相切,且圆心在直线y=-2x上的圆的标准方程为.解析:由题意,设所求圆心为(a,-2a),半径为r.则圆的标准方程为(x-a)2+(y+2a)2=r2.故有解得故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.答案:(x-1)2+(y+2)2=28.已知圆O:x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于.解析:由题意可直接求出切线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和,所以所求面积为××5=.答案:9.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.解:将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2满足条件y1+y2=4,y1y2=.因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.所以x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=.故+=0,解得m=3,此时Δ>0,圆心坐标为(-,3),半径r=.10.在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.解:(1)曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设圆C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1.则圆C的半径为=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组:消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a-4a2>0.又x1+x2=4-a,x1x2=.①由OA⊥OB,可得·=0,即x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①,②得a=-1,满足Δ>0,故a=-1.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015甘肃省兰州一中模拟)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是(A)(A)在圆外(B)在圆上(C)在圆内(D)不能确定解析:因为直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,所以圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=<2,所以a2+b2>4,所以点(a,b)在圆C的外部.12.在平面内,与点A(1,2)距离为1,与点B(3,1)距离为2的直线共有(B)(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条解析:直线l与点A(1,2)距离为1,所以直线l是以A为圆心,1为半径的圆的切线,同理直线l也是以B为圆心,2为半径的圆的切线,即两圆的公切线,因为|AB|=<3,所以两圆相交,公切线有2条.13.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是.解析:当∠ACB最小时,AB最短,此时l⊥CM.即kl·kCM=-1,故kl·=-1,解得kl=-1.所以直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.答案:x+y-3=014.(2014高考新课标全国卷Ⅰ)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C...
