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高考数学 玩转压轴题 专题2.14 等或不等解存在转化值域可实现-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学 玩转压轴题 专题2.14 等或不等解存在转化值域可实现-人教版高三全册数学试题_第1页
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专题2.14等或不等解存在转化值域可实现【题型综述】导数研究方程的根或不等式的解集利用导数探讨方程解的存在性,通常可将方程转化为,通过确认函数或的值域,从而确定参数或变量的范围;类似的,对于不等式,也可仿效此法.【典例指引】例1.已知函数.(1)若关于的方程在上有解,求实数的最大值;(2)是否存在,使得成立?若存在,求出,若不存在,说明理由;【思路引导】(1)方程在上有解,等价于有解,只需求的最大值即可;(2)假设存在,可推导出矛盾,即可证明不存在.例2.已知函数的最大值为,的图象关于轴对称.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设,是否存在区间,使得函数在区间上的值域为?若存在,求实数的取值范围;若不存在,请说明理由.【思路引导】(Ⅰ)由题意得,可得在上单调递增,在上单调递减,可得的最大值为,可得。由的图象关于轴对称,可得。(Ⅱ)由题知,则,从而可得在上递增。假设存在区间,使得函数在上的值域是,则,将问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根的问题,即在区间上是否存在两个不相等实根,令,,可得在区间上单调递增,不存在两个不等实根。问题转化为关于的方程在区间上是否存在两个不相等实根,即方程在区间上是否存在两个不相等实根,令,,则,设,则,,故在上递增,故,所以,故在区间上单调递增,故方程在区间上不存在两个不相等实根,综上,不存在区间使得函数在区间上的值域是.点睛:(1)解决导数综合题时,函数的单调性、极值是解题的基础,在得到单调性的基础上经过分析可使得问题得以解决。(2)对于探索性问题,在求解的过程中可先假设结论成立,然后在此基础上进行推理,看能否得到矛盾,若得到矛盾,则说明假设不成立;若无矛盾出现,则说明假设成立,从而说明所证明题成立。例3.已知函数为常数(1)当在处取得极值时,若关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;(2)若对任意的,总存在,使不等式成立,求实数的取值范围.【思路引导】(1)对函数,令,可得的值,利用导数研究的单调性,然后求得的最值,即可得到的取值范围;(2)利用导数求出在上的最大值,则问题等价于对对任意,不等式成立,然后构造新函数,再对求导,然后讨论,得出的单调性,即可求出的取值范围.当时,,所以在区间上单调递减,此时所以不可能使恒成立,故必有,因为若,可知在区间上单调递增,在此区间上有满足要求若,可知在区间上递减,在此区间上有,与恒成立相矛盾,所以实数的取值范围是.点睛:本题主要考查函数的单调性及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度较大,属于难题.在处理导数大题时,注意分层得分的原则,一般涉及求函数单调性时,比较容易入手,求导后含参数的问题注意分类讨论,对于恒成立的问题,一般要构造新函数,再利用导数求出函数单调性及最值,涉及到的技巧较多,需多加体会.【同步训练】1.设函数,,已知曲线在点处的切线与直线平行.(1)求的值;(2)是否存在自然数,使得方程在内存在唯一的根?如果存在,求出;如果不存在,请说明理由.【思路引导】(1)求出的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得;(2)求出、的导数和单调区间,最值,由零点存在定理,即可判断存在k=1.又,所以存在,使.因为,所以当时,,当时,,所以当时,单调递增,所以时,方程在内存在唯一的根.点睛:本题考查函数的单调性、极值,同时考查零点存在定理和分段函数的最值,考查运算能力,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会.2.已知函数.(1)若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围;(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.【思路引导】(1)由题意得导函数在其定义域内恒...

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