第二讲点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本性质名称图示文字表示符号表示公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l且p∈l三个公理的应用1．公理1的作用：(1)检验平面；(2)判断直线在平面内；(3)由直线在平面内判断直线上的点在平面内．12．公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．3．公理3的作用：(1)判定两平面相交；(2)作两平面相交的交线；(3)证明多点共线．二、空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α三、空间直线的位置关系1．位置关系的分类2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．(2)范围：.一、直线与平面平行判定定理性质定理图形条件l∥a，l⊄α，a⊂αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论l∥αa∥b(1)证线面平行①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α.②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β.(2)线面平行的性质①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b②若a∥α，a⊥β，则α⊥β.二、面面平行的判定与性质判定性质图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥ba∥α一、直线与平面垂直2判定性质图形条件a⊥b，b⊂α(b为α内的任意直线)a⊥m，a⊥n，m、n⊂αm∩n＝Oa∥ba⊥αa⊥αb⊂αa⊥αb⊥α结论a⊥αa⊥αb⊥αa⊥ba∥b几个常用的结论(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直；(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直；(3)垂直于同一直线的两个平面互相平行．二、两个平面垂直1．平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．2．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β3.平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α三、线面角与二面角1．直线和平面所成的角(1)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.备选：2．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．基础自测1．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【解析】根据所给的已知条件作图，如图所示．由图可知α与β相交，且交线平行于l，故选D.【答案】D2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．【解析】如图所示，连接BD交AC于F，连接EF则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，3又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.【答案】平行3．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC的长为()A.aB.aC.aD．a【解析】如图所示：取BD的中点O连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′—BD—C的平面角．即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.【答案】D4．(2013·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，...
