考查角度2最值和取值范围问题分类透析一利用函数的性质求最值例1如图,已知抛物线x2=y,点A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)(-12b>0)的一个焦点是F(1,0),且离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点,线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0),求y0的取值范围.分析(1)由焦点坐标知c=1,由离心率知a=2,进而可求得b2,得到椭圆方程;(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为Q(x3,y3),讨论直线MN的斜率k,当斜率存在时,设出直线MN的方程,代入椭圆方程,由根与系数的关系,得到x3,y3与k的关系,再求出线段MN的垂直平分线,从而求出y0及其取值范围.解析(1)依题意,得c=1.因为椭圆C的离心率为e=12,所以a=2c=2,b2=a2-c2=3.故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当MN⊥x轴时,显然y0=0.当MN与x轴不垂直时,可设直线MN的方程为y=k(x-1)(k≠0).由{y=k(x-1),x24+y23=1,消去y并整理得(3+4k2)x2-8k2x+4(k2-3)=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为Q(x3,y3),则x1+x2=8k23+4k2.所以x3=x1+x22=4k23+4k2,y3=k(x3-1)=-3k3+4k2.故线段MN的垂直平分线的方程为y+3k3+4k2=-1kx-4k23+4k2.在上述方程中,令x=0,得y0=k3+4k2=13k+4k.当k<0时,3k+4k≤-4❑√3,当且仅当3k=4k,k=-❑√32时,等号成立;当k>0时,3k+4k≥4❑√3,当且仅当3k=4k,k=❑√32时,等号成立.所以-❑√312≤y0<0或0
