第18讲等差数列、等比数列的基本问题1.(2018江苏连云港上学期期末)若A(1,2),B(3,t-2),C(7,t)三点共线,则实数t的的值是.2.(2018江苏泰州中学高三月考)对于常数m、n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的.3.(2017南京师大附中第一学期高三期中)过坐标原点作函数y=lnx图象的切线,则该切线的斜率为.4.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,⃗CP=3⃗PD,⃗AP·⃗BP=2,则⃗AB·⃗AD的值是.5.(2018南京高三年级学情调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最小值为.6.(2018江苏启东中学高三上学期第二次月考)已知数列{an}是等比数列,若a3a5a7=-8,则1a1a5+4a5a9的最小值为.7.(2017徐州王杰中学高三月考)在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=4bcosC,sinC=3❑√1010.(1)求角B的值;(2)若b=❑√5,求三角形ABC的面积.8.(2018江苏三校联考)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,M,N分别是棱CC1,AB的中点.(1)求证:CN⊥平面ABB1A1;(2)求证:CN∥平面AMB1.答案精解精析1.答案5解析AB、AC的斜率相等,则t-42=t-26,t=5.2.答案必要不充分条件解析“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的充要条件是m>0,n>0,m≠n,所以“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.3.答案1e解析设切点坐标为(x0,lnx0),则1x0=lnx0x0x⇒0=e,所以该切线的斜率为1e.4.答案22解析因为⃗AP=⃗AD+⃗DP=⃗AD+14⃗AB,⃗BP=⃗BC+⃗CP=⃗AD-34⃗AB,所以⃗AP·⃗BP=(⃗AD+14⃗AB)·(⃗AD-34⃗AB)=|⃗AD|2-316|⃗AB|2-12⃗AB·⃗AD=2,又AB=8,AD=5,所以⃗AB·⃗AD=22.5.答案-43解析圆(x-2)2+(y-2)2=1上的点M关于x轴的对称点N在圆(x-2)2+(y+2)2=1上,又点N在直线kx+y+3=0,则直线kx+y+3=0与圆(x-2)2+(y+2)2=1有公共点,则|2k+1|❑√k2+1≤1,解得-43≤k≤0,则实数k的最小值为-43.6.答案1解析a3a5a7=a53=-8,则a5=-2,所以奇数项都是负数,且a1a9=a52=4,则1a1a5+4a5a9≥2❑√(-12a1)(-2a9)=1,当且仅当a1=-1,a9=-4时取等号,则最小值为1.7.解析(1)由已知得ab=4cosC,又由ab=sinAsinB得sinAsinB=4cosC,则sinA=4sinBcosC,而sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=4sinBcosC,则cosB·sinC=3sinB·cosC即tanB=13tanC,由已知得cosC>0,且cosC=❑√1-sin2C=❑√1010,tanC=sinCcosC=3,则tanB=13×3=1,由B∈(0,π)得B=π4.(2)由csinC=bsinB得c=bsinCsinB=❑√5×3❑√1010❑√22=3.又sinA=sin(B+C)=❑√22×❑√1010+❑√22×3❑√1010=2❑√55,则△ABC的面积S=12bcsinA=12×❑√5×3×2❑√55=3.8.证明(1)∵三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,CN⊂平面ABC,∴AA1⊥CN.∵AC=BC,N是棱AB的中点,∴CN⊥AB.∵AA1∩AB=A,AA1⊂平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,∴CN⊥平面ABB1A1.(2)取AB1的中点P,连接NP、MP.∵P、N分别是棱AB1、AB的中点,∴NP∥BB1且NP=12BB1.∵三棱柱ABC-A1B1C1中,M是棱CC1的中点,且CC1∥BB1,CC1=BB1,∴CM∥BB1,且CM=12BB1,∴CM∥NP,CM=NP.∴四边形CNPM是平行四边形,∴CN∥MP.∵CN⊄平面AMB1,MP⊂平面AMB1,∴CN∥平面AMB1.
