第12讲导数与函数的单调性1．(2016·九江模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的递增区间是()A．(－∞，2)B．(0，3)C．(1，4)D．(2，＋∞)解析：选D.函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)·ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)>0时，函数f(x)递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2.2．(2016·郑州一模)设函数f′(x)＝x2＋3x－4，则y＝f(x＋1)的递减区间为()A．(－4，1)B．(－5，0)C.D.解析：选B.由f′(x)＝x2＋3x－4，令f′(x)<0，即x2＋3x－4<0，解得－4
0时，f′(x)＝·，记h(x)＝e2x－2xex－1，因为h′(x)＝2ex(ex－x－1)>0，所以h(x)>h(0)＝0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上是递增的，排除C，所以选B.4．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)·f′(x)≥0，则必有()A．f(x)≥f(a)B．f(x)≤f(a)C．f(x)>f(a)D．f(x)a时，f′(x)≥0；当x0时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数．又f(－3)＝f(5)＝1，因此不等式f(x)<1的解集是(－3，5)．6．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上是减函数，则a的取值范围是()A．00，所以f(x)在(0，2π)上是递增的．答案：增函数8．(2016·石家庄二中开学考试)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)0，函数递增，所以由f(x2＋2)0，解得a>－3，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)11．已知函数f(x)＝(m为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求m的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故m＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝.设h(x)＝－lnx－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.综上可知，f(x)的递增区间是(0，1)，递减区间是(1，＋∞)．12．(2016·云南省第一次统一检测)已知函数f(x)＝lnx－.(1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上递增；(2)若f[x(3x－2)]<－，求实数x的取值范围．解：(1)证明：由已知得f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝lnx－，所以f′(x)＝－＝.因为x>0，所以4x2＋3x＋1>0，x(1＋2x)2>0.所以当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上递增．2(2)因为f(x)＝lnx－，所以f(1)＝ln1－＝－.由f[x(3x－2)]<－得f[x(3x－2)]
